г 1 + V-V/C2

Световым годом называется расстояние, проходимое светом в пустоте за год (см. введение к §4 га. VIII).

550. Какой промежуток времени At занял бы по земным часам полет ракеты до звездной системы Проксима-Центавра и обратно (расстояние до нее 4 световых года), если бы он осуществлялся с постоянной скоростью V = v0,9999c? Из расчета какой длительности путешествия следовало бы запасаться продовольствием и другим снаряжением? Каков запас кинетической энергии в такой ракете, если ее масса Ют?

551. Два масштаба, каждый из которых имеет длину покоя Iq, равномерно движутся навстречу друг другу параллельно общей оси х. Наблюдатель, связанный с одним из них, заметил, что между совпадением левых и правых концов масштабов прошло время At. Какова относительная скорость г; масштабов? В каком порядке совпадают их концы для наблюдателей, связанных с каждым из масштабов, а также для наблюдателя, относительно которого оба масштаба движутся с одинаковой скоростью в противоположные стороны?

552. Вывести формулы лоренцова преобразования от системы S к системе S для радиуса-вектора г и времени t, не предполагая, что скорость V системы S относительно S параллельна оси х. Результат представить в векторной форме.

Указание. Разложить г на продольную и поперечную относительно V юм-поненты и юспользоваться преобразованиями Лоренца (Х.1).

553. Записать формулы преобразования Лоренца для произвольного 4-векгора Аг = (А, А), не предполагая, что скорость V системы S относительно S параллельна оси х.

554. Вывести формулы сложения скоростей для случая, когда скорость V системы S относительно S имеет произвольное направление. Формулы представить в векторном виде.

555. Даны три системы отсчета: S, S, S". S" движется относительно S со скоростью V, параллельной оси х, S - относительно S со скоростью V, параллельной оси х. Соответствующие оси всех трех систем параллельны. Записать преобразования Лоренца от S" к S и получить из них формулу сложения параллельных скоростей.

556. Доказать формулу

1 + V • V/c2

где V и v - скорости частицы в системах 5 и S", V - скорость S" относительно S.

558. Происходит три последовательных преобразования системы отсчета: 1) переход от системы S к системе S, двигаюшейся относительно S со скоростью V, параллельной оси х; 2) переход от системы S к системе S", двигаюшейся относительно S со скоростью v, параллельной оси у; 3) переход от системы S" к системе S", двигающейся относительно S" со скоростью, равной релятивистской сумме скоростей -v и -V. Доказать, что система S", как и следует ожидать, неподвижна относительно S и t" = = t, однако S" повернута относительно S на некоторый угол в плоскости ху (томасовская прецессия). Вычислить угол ip томасовской прецессии.

Указание. Воспользоваться формулами общего вида для преобразования Лоренца (см. задачу SS2) и сложения сюростей (см. задачу SS4), записав эти формулы в проекциях на декартовы оси.

559. Два масштаба, каждый из которых имеет в своей системе покоя длину 1о, движутся навстречу друг другу с равными скоростями v относительно некоторой системы отсчета. Какова длина I каждого из масштабов, измеренная в системе отсчета, связанной с другим масштабом?

560. Два пучка электронов летят навстречу друг другу со скоростями и = 0,9 с относительно лабораторной системы координат. Какова относительная скорость V электронов: а) с точки зрения наблюдателя в лаборатории; б) с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с одним из пучков электронов?

561. Эффекты, возникающие при столкновении двух элементарных частиц, не зависят от равномерного движения этих частиц, как целого; эти эффекты определяются лишь их относительной скоростью. Одну и ту же относительную скорость можно сообщить сталкивающимся частицам двумя способами (предполагается для простоты, что частицы обладают одинаковой массой т): а) один ускоритель разгоняет частицы до энергии ё, затем

Обратим внимание на то, что результирующая скорость зависит от того порядка, в котором производится сложение скоростей

где V и v - скорости частицы в системах 5 и S", V - скорость S относительно S.

557. Доказать соотношение

(V + V)2 - (V X V)2/c2

Это означает, что предлагается вычислить сумму собственных времен dr = dt ~

в последовательности мгновенно сопутствующих ракете инерциальных систем отсчета, выражаемую интегралом / dr. Подробнее по этому noBoziy см. [107], § 62, а также [17], [72].

быстрые частицы ударяются о неподвижную мишень из тех же частиц; б) два одинаковых ускорителя расположены так, чтобы создаваемые ими пучки частиц были направлены навстречу друг другу; каждый из ускорителей при этом должен разгонять частицы до энергии Sq < S.

Сравнить между собой значения S тл Sq. Рассмотреть, в частности, ультрарелятивистский случай.

562. Найти формулы преобразования ускорения v для случая, когда система S движется относительно системы S с произвольно направленной скоростью V. Представить эти формулы преобразования в векторном виде.

563. Выразить компоненты четырехмерного ускорения Wi через обычное ускорение v и скорость v частицы. Найти ш. Пространственноподобно или времениподобно четырехмерное ускорение?

564. Выразить ускорение v частицы в мгновенно сопутствуюшей ей инерциальной системе через ее ускорение v в лабораторной системе. Рассмотреть случаи, когда скорость v частицы меняется только по величине или только по направлению.

565. Релятивистская частица совершает «равноускоренное» одномерное движение (ускорение v = ui постоянно в собственной системе отсчета). Найти зависимость скорости v{t) и координаты x{t) частицы от времени t в лабораторной системе отсчета, если начальная скорость vo, а начальная координата xq. Рассмотреть, в частности, нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы.

УКАЗАНИЕ. Использовать результат предыдущей задачи.

566. Ракета, рассматривавшаяся в задаче 550, разгоняется от состояния покоя до скорости V = yOiQOOO с. Ускорение ракеты составляет v = = 20 м/сек в системе, мгновенно сопутствуюшей ракете. Сколько времени продлится разгон ракеты по часам в неподвижной системе отсчета и по часам в ракете?

УКАЗАНИЕ. Влияние сил инерции на ход часов в ракете не учитывать.

567. Частица движется со скоростью v и ускорением v, так что за малый промежуток времени St ее скорость в лабораторной системе S меняется на величину 5\ = irSt. Пусть S - инерциальная система, мгновенно сопутствуюшая частице в момент t, а S" - такая же система для момента