40. Доказать тождества:

а) С • grad(A • В) = А • (С • V)B + В • (С • V)A;

б) (С • V)(A X В) = А X (С • V)B - В X (С • V)A;

в) (V • А)В = (А • V)B + В div А;

г) (А X В) • rote = В • (А • V)C - А • (В • V)C;

д) (А X V) X В = (А • V)B + А X rotB - AdivB;

е) (V X А) X В = AdivB - (А • V)B - А х rotB - В х rot А.

41. Вычислить gradyj(r); divyj(r)r; rotyj(r)r; (1 • V)yj(r)r.

42. Найти функцию у?(г), удовлетворяющую условию div у?(г)г = 0.

43. Найти дивергенции и вихри следующих векторов: (а • г)Ь, (а • г)г, (а X г), у(г)(а X г), г X (а X г), где а и b - постоянные векторы.

44. Вычислить gradA(r)-r, grad А(г) • В(г), divyj(r)A(r), rot¥,(r)A(r), (l.V)¥j(r)A(r).

45. Вычислить grad и rot -j- (р - постоянный вектор), воспользовавшись выражениями градиента и вихря в сферических координатах. Найти векторные линии для этих векторов (дать рисунок).

46. Доказать, что

(А • V)А = -А X rot А при A = const.

47. Записать проекции вектора АА на оси сферической системы координат.

Указание. Воспользоваться тождеством ДА = - rot rot А -- grad div А.

48. Записать проекции вектора АА на оси цилиндрической системы координат.

49. Интеграл по объему /(grad у?-rot А) dV преобразовать в интеграл по поверхности.

50. Вычислить интегралы f г(а • п) dS, /(а • г)п dS, где а - постоянный вектор, п - орт нормали к поверхности.

51. Интегралы по замкнутой поверхности fnipdS, /(п х a.)dS, /(п • b)adS (Ъ - постоянный вектор, п - орт нормали) преобразовать в интегралы по объему, заключенному внутри поверхности.

Указание. Решение выполнить по образцу предыдущей задачи.

y"/(n,r)d5 = j /(V,r)dV.

Оператор V в подынтегральной фушщии /(V,r) действует на г и стоит левее всех переменных.

Указание. Разложить п по ортам декартовой системы координат и воспользоваться теоремой Остроградского-Гсса:

(рпх dS.

54. Решить задачи 50 и 51 с помощью обобщенной теоремы Остроградского-Гаусса, доказанной в предыдущей задаче.

55. Интеграл по замкнутому контуру / у? dl преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур.

56. Интеграл §udf, взятый по некоторому замкнутому контуру, преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур {и, / скалярные функщга координат).

57. Доказать тождество:

j (А • rot rot В - В • rot rot А) dA = j>[{B х rot А) - (Ах rotB)] • dS.

58. Внутри обьема V вектор А удовлетворяет условию div А = О, а на границе обьема (поверхность S) - условию Л„ = 0. Доказать, 4To/AdV = 0.

52. Воспользовавшись одним из тождеств, доказанных в предыдущей задаче, вывести закон Архимеда путем суммирования сил давления, приложенных к элементам поверхности погруженного в жидкость тела.

53*. Пусть /(а, г) удовлетворяет условию

/(ciai + С2а2, г) = ci/(ai, г) + С2/(а2, г),

где ci и С2 - произвольные постоянные, и является дифферешщруемой фушщией г. Доказать, что если V - произвольный обьем, S - ограничивающая его поверхность и п - орт внешней нормали к этой поверхности, то имеет место обобщенная теорема Остроградского-Гаусса:

Указание. Исходить из теоремы Остроградского-Гсса для вектора Ai = = TikUk, где а - произвольный постоянный вектор.

61. Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функщш, зависящей только: а) от г; б) от в) от а (сферические координаты).

62. Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функщш, зависящей только: а) от г; б) от а; в) от 2 (цилиндрические координаты).

63. Показать, что если скалярная функция ф является решением уравнения -Ь fcV = О и а - некоторый постоянный вектор, то векторные функции L = gradV, М = rot(aV), N = rotM удовлетворяют уравнению ДА + fcA = 0.

64*. Уравнение Щг + + Щг = 1{а>Ь>с) изображает эллипсоид о b с с полуосями а, 6, с. Уравнения

а2 + С + б2 + С + с2 + С" "

изображают соответственно эллипсоид, однополостной и двухполостной гиперболоиды, софокусные с первым эллипсоидом. Через каждую точку пространства проходит по одной поверхности, характеризуемой значениями , Г), С- Числа , Г), С называются эллипсоидальными координатами точки ж, у, Z. Найти формулы преобразования от , ту, к ж, у, z. Убедиться в ортогональности эллипсоидальной системы координат. Найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в эллипсоидальных координатах.

59*. Доказать, что divR / " = О, где А(г) - вектор, определенный в предыдущей задаче.

60. Для трехмерного тензора II ранга доказать теорему Остроградского-Гаусса: