образуют четырехмерный векгор (4-векгор) Аг, г = 0,1,2,3. Трехмерный векгор А = (1,2, Аз) называют пространственной, а величину Aq временной составляющими 4-векгора Аг.

Скалярное произведение двух четырехмерных векторов определяется следующим образом:

АгВг = AqBq - AiBi - А2В2 - А3В3. (Х.5)

Как и раньще (см. гл. I), будем подразумевать суммирование по дважды повторяющемуся индексу, который теперь принимает значения О, 1,2, 3. При этом слагаемое с индексом О берется со знаком плюс, а слагаемые с индексами 1, 2, 3 - со знаком минус. Этим правилом знаков при суммировании будем пользоваться и в дальнешпем.

Квадраты 4-векгоров Af, определенные в соответствии с (Х.5), и их скалярные произведения AiBi имеют одинаковые значения во всех инер-Щ1альных системах отсчета (инварианты относительно преобразований Лоренца). 4-векгор Аг называется пространственноподобным, если Л? < О, и времениподобным, если Af > 0.

Инвариантная величина

S12 = [(C2(tl - t2f - (ri - Г2)2] (Х.б)

называется интервалом меяаду двумя событиями с координатами (ri,fi)

и (Г2,*2).

Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным объектом, называется собственным временем этого обьекта. Если обьект движется относительно системы S со скоростью V, то интервал собственного времени dr выражается через промежуток времени dt в системе S по формуле

dr = dty/1 - VVc2. (Х.7)

Величина dt\/l - является инвариантом преобразования Лоренца.

Если некоторый стержень в покое имеет длину 1, то при движении со скоростью V вдоль своей оси он имеет с точки зрения неподвижного наблюдателя длину

I = «oa/1-u2/c2. (Х.8)

Четырехмерной скоростью (4-скоростью) частицы называется 4-век-тор, компоненты которого определяются формулой

Четырехмерным ускорением частицы называется 4-векгор с компонентами

duj d~~d?

Волновой вектор к и частота ш плоской электромагнитной волны являются компонентами волнового 4-векгора кг.

A;i=(f,k). (Х.14)

Поэтому фаза плоской волны ip = -kiXi является инвариантом.

Из формул (Х.4) следуют формулы преобразования угла составляемого световым лучом с осью х:

tg= „ли cosi?=;°7 + ,. (Х.15)

7(cos??--/?) l--/?cos??

Задачи на преобразование Лоренца для энергии, импульса и силы собраны в § 1 гл. XI.

543. Пусть система S движется относительно системы S со скоростью V вдоль оси X. Часы, покоящиеся в 5 в точке (жд, г/о> о) момент *о проходят мимо точки (жо, уо,го)в системе S, где находятся часы, показывающие в этот момент время to. Написать формулы преобразования Лоренца для этого случая.

где \ = dr/dt - обычная скорость частицы. Из (Х.9) очевидно, что

и?=с2. (Х.10)

4-скорость, как и всякий 4-векгор, преобразуется по формулам (Х.4). Компоненты обычной скорости не являются пространственными составляющими какого-либо 4-векгора и преобразуются по формулам (V II ж):

, <+у ,-<2/ЕГЕ «И)

l + vxV/cP l + vxV/cP l + vxV/cP • -

Если скорость частицы составляет с осью х углы & ид в системах S и S соответственно, то

544. Система S движется относительно системы S со скоростью V. Доказать, что при сравнении хода часов в системах S и S всегда будут отставать те часы в одной из этих систем отсчета, показания которых последовательно сравниваются с показаниями двух часов в другой системе отсчета. Выразить один промежуток времени через другой. (Показания движущихся часов сравниваются в момент, когда они проходят друг мимо друга.)

545. Длину стержня, движущегося вдоль своей оси в некоторой системе отсчета, можно находить таким образом: измерять промежуток времени, в течение которого стержень проходит мимо фиксированной точки этой системы, и умножать его на скорость стержня. Показать, что при таком методе измерения получается обычное лоренцово сокращение.

546. Система S движется относительно системы S со скоростью V. В момент, когда начала координат совпадали, находивпшеся там часы обеих систем показывали одно и то же время t = t = 0. Какие координаты в каждой из этих систем в дальнейшем будет иметь мировая точка, обладающая тем свойством, что находящиеся в ней часы систем 5 и 5 показывают одно и то же время t = tl Определить закон движения этой точки.

547. Пусть для измерения времени используется периодический процесс отражения светового «зайчика» попеременно от двух зеркал, укрепленных на концах стержня длиной I. Один период - это время движения «зайчика» от одного зеркала до другого и обратно. Световые часы неподвижны в системе S и ориентированы параллельно направлению движения. Пользуясь постулатом о постоянстве скорости света, показать, что интервал собственного времени йт выражается через промежуток времени dt в системе S формулой (Х.7).

548. Решить предыдущую задачу для случая, когда световые часы ориентированы перпендикулярно направлению относительной скорости.

549. «Поезд» ав, длина которого Iq = 8,64 • 10* юи в системе, где он покоится, идет со скоростью V = 240 ООО км/сек мимо «платформы», имеющей такую же длину в своей системе покоя. В голове в и хвосте а «поезда» имеются одинаковые часы, синхронизованные между собой. Такие же часы установлены в начале {а) и в конце {в) «платформы». В тот момент, когда голова «поезда» поравнялась с началом «платформы», совпадающие часы показывали 12 час ООмин. Ответить на следующие вопросы: а) можно ли утверждать, что в этот момент в какой-либо системе отсчета все часы также показывают 12 час (Ммин; б) сколько показывают каждые из часов в момент, когда хвост «поезда» поравнялся с началом «платформы»; в) сколько показывают часы в момент, когда голова «поезда» поравнялась с концом «платформы»?