Указание. Воспользоваться результатами предыдущей задачи.

34. Составить все возможные независимые инварианты из полярных векторов п, п и псевдовектора 1.

35. Какие независимые псевдоскаляры можно составить из двух полярных векторов п, п и одного псевдовектора 1? Из трех полярных векторов Пь П2, Пз?

§2. Векторный анализ

В произвольной ортогональной системе координат qi, 92 > 9з квадрат элемента длины выражается формулой

dl = hUql + hldql + hldql а элемент обьема - формулой

dV = hih2h3 dqidq2dq3,

(1.14)

(1.15)

(1.16)

- функции координат (коэффициенты Ламэ). Различные дифференциальные операции записываются так:

(grad). = ff-

div А

{hihsAi) + {hihsAi) + {hihiAs) oqi oq2 oqs

rot A =

/12/13 /lifts /11/12

d d

dqi dq2 dqa

hiAi /i2j42 кзАз

} (1-17)

Ay= [ ( I ( 9P\ д fhih2 d<fi\ hihihs dq\\ hi dq\ dq2 /12 dqi dqa ha dqa

В формуле для rot А дифференциальные операторы действуют на эле-

менты нижней строки определителя.

В сферической системе координат:

ж = г sin 1? cos а, у = г sin i? sin а, z = r cos i?; hr = 1, /itf = r, /la = rsini?;

, dip dip , Ga dip

gradc, = е.-+ -- + --;

div A = I- {r-Ar) + {A sin 1?) +

or r sin 1? ai? r sin 1? aa

(rotA)r =

rsini?

[(asmi?)-

(rotA)tf =

1 dAr ld{rA) r

rsini? da

В цилиндрической системе координат:

X = r cos a, у = r sin a, 2 = 2; /ir = 1, ha = r, /12 = 1;

, dip Badip dip

div A - (rA ) + iMa + Mi. rar- + г da dz

dip

rsin21?aa2

(1.18)

(rot A) a =

, idA dAa

(о*А), = --(гЛ„)-- -;

1 d ( dip\ jd\ d\

rda dz

dAr dA

dz dr

При любых A и имеют место тождества:

rot grad у? = О, div rot A = О, div grad ip = Aip.

(1.19)

(1.20)

Следующие основные интегральные теоремы позволяют преобразовывать объемные, поверхностные и контурные интегралы друг в друга.

j>A-d\ = j 1

где I - замкнутый контур, S - произвольная поверхность, опирающаяся на этот контур.

В формулах (1.21) и (1.22) векгор А должен быть дифференцируемой функцией координат.

36. Записать циклические компоненты градиента в сферических координатах.

37. Воспользовавшись декартовыми, сферическими и цилиндрическими координатами, вычислить div г, rot г, grad(l • г), (1 • V)r, где г - радиус-вектор, 1 - постоянный вектор.

38. Выполняя все вычисления в сферических (или цилиндрических) координатах, найти rot(a; х г), где ш - постоянный вектор, направленный по оси Z.

39. Доказать тождества:

а) grad(yjV) = ygradV -Ь Vgrady?;

б) div(yjA) = у? div А -- А • grad у?;

в) rot(yjA) = у? rot А - А X grad у?;

г) div(A X В) = В • rot А - А • rotB;

д) rot(A X В) = AdivB - Bdiv А + (В • V)A - (А • V)B;

е) grad(A • В) = А х rotB -Ь В х rot А -- (В • V)A -- (А • V)B.

Указание. Доказательство этих тождеств следует производить с помощью оператора V, пользуясь правилами дифференцирования и перемножения векторов и не переходя к проекциям на оси координат.

См. задачу 10*.

Теорема Остроградского-Гаусса.

j dWAdV = j A-dS, (1.21)

где V - некоторый объем, S - замкнутая поверхность, ограничивающая этот объем.

Теорема Стокса.

rotA-dS, (1.22)