Выразить через р, 5 vi во вещественную часть показателя преломления п и коэффшщент поглощения п" (п + in" = 1/С, С - поверхностный импеданс), считая n - n" » sin во.

416. Найти коэффшщент отражения R от плоской границы проводника при нормальном падении в предельном случае малых значений проводимости (см. формулу (VIII.8)).

417*. Показать, что после полного отражения от границы диэлектрика линейно поляризованная волна приобретает в общем случае эллиптическую поляризацию. При каких условиях поляризация будет круговой?

418. Исследовать движение энергии при полном внутреннем отражении. Найти поток энергии вдоль поверхности раздела и в перпендикулярном направлении в среде, от которой происходит отражение. Определить линии вектора Пойнтинга 7.

419. Плоская монохроматическая волна падает на плоскую границу раздела двух диэлектриков с проницаемостями ei и £2. Какой характер примет поле по обе стороны от границы в случае скользящего падения (угол падения во 7г/2)?

420*. Электромагнитная волна падает наклонно из диэлектрика на плоскую границу проводящей среды. Найти направления распространения, затухания и фазовую скорость волны в проводящей среде.

421*. Диэлектрический слой с проницаемостью £2> ограниченный плоскостями Z = О и Z = а, разделяет диэлектрические среды с проницаемостями £i и £3 {fj,i = 2 = Мз = !)• На этот слой нормально к его поверхности падает из области z < О электромагнитная волна. При какой толщине слоя отражение будет минимальным? При каком соотношении между £1, £2, £з отражения не будет?

422*. Плоская волна падает нормально из вакуума на границу диэлектрика. Исследовать влияние размытости границы на коэффициент отражения. Для этого ашфоксимировать ход диэлектрической проницаемости функцией

где £ и А£ - постоянные. Исследовать частные случаи больших и малых а. Указание. В дифференциальном уравнении для E{z) (см. (VIII. 12)) сделать

£

замену независимой переменной = -е "и подстановку Е{) = ~"ф{0,

где ф{) будет удовлетворять гипергеометрическому уравнению (см. справочник [90], 9.151).

423*. При отсутствии поглощения диэлектрическая проницаемость плазмы имеет вид (см. задачу 312*):

, 47re2jV с 1 .

Рассмотреть распространение электромагнитной волны в плазме, концентрация которой меняется линейно: N{z) = Nqz. Плоская монохроматическая волна падает на неоднородный слой плазмы нормально. (Такой случай может иметь место при распространении радиоволн в ионосфере.)

Указание. Уравнение для E(z) решать путем разложения искомой функции в интеграл Фурье.

424. Построить одномерный волновой пакет Ф для момента времени f = О, взяв в качестве амплитудной функции кривую Гаусса а{к) =

= аоехр -(д°) > где ао, fco. Afc - постоянные. Найти связь между

щириной пакета Ах и интервалом волновых чисел Ак, вносящих основной вклад в суперпозицию.

425. Волновой пакет Ф образован суперпозицией плоских волн с разными частотами. Амплитудная функция имеет вид кривой Гаусса а{ш) =

= ао ехр - {° > где ао, и>о, - постоянные. Найти зависимость

амплитуды пакета от времени в точке а; = 0. Получить связь между длительностью волнового импульса At и интервалом частот Да;.

426. Некоторый обьект, освещаемый светом с длиной волны Л, рассматривается в микроскоп. Найти минимальный возможный размер объекта Aicmin, допускаемый условием Ах • ДА; > 1.

427. Положение некоторого обьекта определяется с помощью радиолокации. С какой предельной точностью можно провести это измерение, если расстояние до обьекта I, длина волны А?

428. Исследовать форму и движение волнового пакета, полученного наложением плоских волн с одинаковыми амплитудами ао и с волновыми векторами, лежащими в области ко - к q (ко, q - постоянные). Действительный закон дисперсии шСк) заменить приближенным соотноще-

нием ш(к) = ш(ко) + • (к - ко).

429*. Исследовать «расплывание» одномерного волнового пакета в диспергирующей среде. Для этого выбрать амплитудную функцию в виде кривой Гаусса а{к) = аое~°~° и учесть квадратичный член в разложении частоты и> по fc.

Ограничиться рассмотрением только случаев больших и малых (по сравнению с Wo) частот ш {ц = 1).

431. Определить скорость переноса энергии одномерным волновым пакетом, движущимся в диспергирующей среде. Показать, что эта скорость совпадает с групповой скоростью Vg.

Указание. Скорость переноса энергии v определяется соотношением 7 = vW,

1б7Г

- усредненная плотность энергии в диспергирующей среде (см. [66]), 7 - средняя плотность потока энергии.

§ 2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах

Оптически анизотропными называются такие среды, у которых электрическая и магнитная проницаемости являются тензорами. Оптическая анизотропия может быть следствием кристаллической структуры тела, а также вызываться внешним электрическим полем (см. задачи Ъ\Ъ*, 314) или внешними механическими воздействиями. При отсутствии внешнего магнитного поля тензоры £ifc() и Цгk{JУ симметричны:

£ifc = £fci, Mifc = Mfci- (VIII.22)

В анизотропной среде в данном направлении могут распространяться с разными фазовыми скоростями две плоские монохроматические волны одной частоты, поляризованные линейно в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Направления, вдоль которых обе волны имеют одинаковые скорости распространения, называются оптическими осями. Направление распространения волны, которое определяется нормалью к волновой поверхности, в общем случае не совпадает с направлением луча (т.е. с направлением вектора Пойнтинга).

Мы не рассматриваем эффектов, связанных с пространственной неоднородностью поля, которые приводят к зависимости ец. и цц, от волнового вектора к (см. [66], а также задачу 446).

430. Найти фазовую и групповую Vg скорости распространения в среде, диэлектрическая проницаемость которой (ср. (VI. 12))

e{uj) = 1 + "