где Но1 и Но2 - взаимно перпендикулярные векторы с одинаковыми длинами: Яо1 = Яо2 = Щ. (Вектор Но(<) описывает окружность постоянного радиуса Щ в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра.) Найти средний вращательный момент N, приложенный к единице длины цилиндра ( = 1).

386. Бесконечный цилиндр, находящийся в постоянном и однородном поперечном магнитном поле Но, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ш. Найти тормозящий момент N, приложенный к единице длины цилиндра.

387*. Бесконечный металлический цилиндр радиуса а с проводимостью сг и магнитной проницаемостью ц находится в постоянном и однородном, продольном относительно его оси, магнитном поле Щ. В некоторый момент времени внещнее поле выключается и поддерживается затем равным нулю. Найти ход затухания со временем магнитного поля в цилиндре.

388. Металлический щар радиуса а с проводимостью сг и магнитной проницаемостью , помещен в однородное переменное магнитное поле Яо(<) = Ное~*. Считая частоту малой, найти в первом неисчезающем приближении распределение вихревых токов в щаре и среднюю поглощаемую им мощность Q.

389. Металлический щар помещен в однородное магнитное поле, меняющееся с частотой ш. Найти результирующее поле Н и среднюю поглощаемую щаром мощность Q при больших частотах. Радиус щара а, магнитная проницаемость , проводимость сг.

Указание. При определении поля вне шара считать, что внутри шара поле равно нулю (т. е. пренебречь глубиной проникновения 6 по сравнению с радиусом шара о). При определении поля внутри шара считать его поверхность плоской.

390*. Проводящий эллипсоид находится в однородном переменном магнитном поле. Определить магнитную поляризуемость эллипсоида при сильном скин-эффекте (т. е. считая, что глубина проникновения поля в проводник равна нулю). Рассмотреть предельные случаи тонкого круглого диска и длинного тонкого стержня.

391*. Шар радиуса а с проводимостью сг находится в однородном магнитном поле H{t) = Ще~*. Найти результирующее магнитное поле и распределение вихревых токов в щаре для общего случая произвольных частот. Убедиться, что в предельных случаях слабого и сильного скин-эффекта получаются результаты, найденные в задачах 388 и 389 (считать для простоты ц = 1).

392. Найти среднюю мощность Q, поглощаемую проводящим щаром в однородном переменном магнитном поле при произвольных частотах.

393. Найти активное сопротивление R тонкого цилиндрического проводника при скин-эффекте. Длина проводника I, радиус а, проводимость сг, магнитная проницаемость = 1. Исследовать предельные случаи малых и больших частот.

394. На поверхность цилиндрического проводника, у которого радиус а, удельная проводимость cri, нанесен слой другого металла. Толщина слоя h, его проводимость сгг, причем h < а. Найти активное сопротивление R такого проводника переменному току, считая толщину скин-слоя малой по сравнению с а ( = 1).

395. Бесконечный полый цилиндр, у которого внутренний радиус а, толщина стенки h {h <а) находится в однородном продольном магнитном поле Ho{t) = Ное~*. Найти амплитуду Н магнитного поля в полости. Исследовать ее зависимость от и>.

Указание. В силу условия Л < а при определении поля в толще оболочки можно считать ее плоской.

396. Переменный ток J{t) = Qe~ течет по полому цилиндрическому проводнику, у которого средний радиус а, проводимость сг, магнитная проницаемость , толщина h < а. Найти распределение тока j по сечению и активное сопротивление R на единицу длины. Указать условие, при выполнении которого сопротивление полого проводника будет мало отличаться от сопротивления сплошного проводника такого же радиуса.

Указание. Пренебречь кривизной поверхности проводника.

397*. Внутри металлической трубы на расстоянии I от ее осевой линии течет прямолинейный ток Радиус трубы а, толщина стенки /i< а, проводимость стенки <J {ц = 1). Как ток , так и расстояние I зависят от времени по произвольному закону, но так, что во все моменты времени I а. Считая выполненными условия квази-стационарности, определить силу / на единицу длины, действующую на ток со стороны вихревых токов, индуцируемых в цилиндрической оболочке, при слабом скин-эффекте {h <1С

398*. Решить предыдущую задачу для случая сильного скин-эффекта [h » 5).

ЛИТЕРАТУРА

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [66], Тамм И. Е. [101], Френкель Я. И. [112], Власов А. А. [25], Смайт В. [93], Стрэтгон Дж. А. [100], Вайн-штейн Л. А. [23], Бриллюэн Л., Пароди М. [19], Конторович М. И. [61].

Глава VIII

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

§ 1. Плоские волны в однородной среде. Отражение и преломление волн. Волновые пакеты

В диэлектрической среде при отсутствии зарядов и токов векторы электромагнитного поля удовлетворяют уравнениям

rotE=-i, (VIII.1)

с от

rotH=i, (VIII.2)

divD = 0, (VIII.3)

divB = 0. (VIII.4)

В недиспергирующей среде векторы поля связаны соотношениями

D = £Е, В = (хН, (VIII.5)

где £ и - электрическая и магнитная проницаемости. Если потери электромагнитной энергии пренебрежимо малы, то е и - вешественные величины. В случае однородной среды из (VIII.1)-(VIII.5) можно получить уравнение второго порядка для Б и Н:

где = - фазовая скорость распространения электромагнитных волн.

В обшем случае соотношения (VIII.5) справедливы только для монохроматических компонент полей, причем проницаемости е и ц зависят от частоты (дисперсия) и являются комплексными величинами. Мнимые части £ и определяют диссипацию электромагнитной энергии в среде.