§ 2. Вихревые токи и скин-эффект

Если проводник находится во внешнем магнитном поле, удовлетворяющем условию квазистационарности (VII. 1), то вблизи проводника поле удовлетворяет в каждый момент времени уравнениям магнитостатики

divB = 0, rotH = 0 (VII.9)

и уравнению

rotE = -i. (VII.10)

с at

Внутри проводника при достаточно большой проводимости сг (cr/w » е, где е - вещественная часть диэлектрической проницаемости) поле описывается уравнениями (VII. 10) и

div В = О, rot Н = %аЕ. (VII.11)

373. Основываясь на результатах предыдущей задачи и считая iV > 1, исследовать зависимость коэффшщента передачи К = U2/U1 от частоты. Найти интервал частот, для которых К заметно отличен от нуля.

374. Из рассмотрения искусственной длинной линии с сосредоточенными параметрами (задача 369*) получить путем предельного перехода дифференциальное уравнение для тока в длинной линии с равномерно распределенными параметрами.

375. Идеальная длинная линия с распределенными параметрами длиной I разомкнута на концах. Определить спектр собственных колебаний такой системы, сравнить его со спектром цепочки с сосредоточенными параметрами (см. задачу 369*).

376*. Э.д.с, включенная в замкнутый контур, вызывает в нем ток J{t) = ое~*. Найти общее выражение для комплексного сопротивления контура, не пренебрегая запаздыванием внутри системы.

377. Для контура, имеющего форму окружности радиуса а, найти поправку к индуктивности и сопротивление Кг{ш) в первом неисчезающем приближении (см. предыдущую задачу). Показать, что Яг{ш) представляет коэффициент пропорциональности между средней величиной энергии, излучаемой в единицу времени, и среднеквадратичным значением силы тока в контуре.

Из (VII. 10) и (VII. 11) можно получить уравнения второго порядка для векторов Б и Н, имеющие в случае однородной среды вид

AH=f, AE=f. (VII.12)

На границах раздела двух проводников или проводника и диэлектрика векторы поля должны удовлетворять условиям:

Bin=B2n, Hir = H2r, Eu = E2r. (VII.13)

Величина 6 = с/ у/2пцаш (толщина скин-слоя) характеризует глубину проникновения поля в проводник (ш - частота поля). При сильном скин-эффекте в некотором приближении можно считать, что поле проникает в проводник на нулевую глубину; тогда внутри проводника Н = О, а вне проводника, у его поверхности, поле связано с плотностью поверхностного тока 1 соотношением

Н = X п. (VII.14)

Вследствие возникновения вихревых токов проводник, помешенный в магнитное поле, приобретает магнитный момент, даже если у него ц = = 1. Для характеристики этого магнитного момента удобно ввести тензор магнитной поляризуемости тела (Згк по формуле

ТПг = /ЗгкНок, (VII.15)

где m - магнитный момент тела. Но - периодическое внешнее магнитное поле. Тензор /3ik симметричен {/3ik = /9fei), а его компоненты в общем случае комплексны и зависят от частоты.

Среднее (по времени) тепловыделение внутри проводника может бьггь подсчитано по одной из следующих формул:

Q = j (JTE) dV = j aE dV (VII.16)

Q=-{WxH)-dS. (VII.17)

В первой из этих формул интеграл берется по обьему проводника, во второй - по его поверхности. Q выражается также через мнимую часть тензора магнитной поляризуемости тела {/Згк = Ргк + i/ik)-

Q = p1k{HHlk). (VII.18)

Последняя формула справедлива только при гармонической зависимости поля от времени.

378. Широкая плита с проводимостью а и магнитной проницаемостью ц, ограниченная плоскостями х = ±h, обмотана проводом, по которому протекает ток ое~*. Провод тонкий, число витков на единицу длины п, витки намотаны параллельно друг другу. Пренебрегая краевым эффектом, определить вещественную амплитуду магнитного поля внутри плиты. Исследовать предельные случаи слабого (5 Л) и сильного {5 <1с К) скин-эффекта.

379*. Металлический цилиндр бесконечной длины с проводимостью а и магнитной проницаемостью ц расположен так, что его ось совпадает с осью бесконечного соленоида кругового сечения, по которому течет переменный ток = Qe~*. Найти напряженность магнитного и электрического поля во всем пространстве, а также распределение плотности тока 3 в цилиндре; радиус цилиндра а, радиус соленоида Ь, число витков на единицу длины п.

380. Проводящий цилиндр находится в однородном переменном магнитном поле Н = Ное~, параллельном его оси. Используя результаты предыдущей задачи, исследовать распределение тока j внутри цилиндра в предельных случаях малых и больших частот.

381. Подсчитать количество тепла Q, выделяющегося за единицу времени на единице длины цилиндра, рассмотренного в задаче 379*. Исследовать предельные случаи малых и больших частот.

382. Найти магнитную поляризуемость /3 (на единицу длины) цилиндра, находящегося в переменном магнитном поле, параллельном его оси. Частота поля ш, радиус цилиндра а, проводимость сг, магнитная проницаемость = 1. Рассмотреть предельные случаи больших и малых частот.

383*. Металлический цилиндр находится во внешнем однородном магнитном поле Н = Ное~*, перпендикулярном его оси. Радиус цилиндра а, проводимость сг, магнитная проницаемость ц = 1. Найти результирующее поле и плотность тока j в цилиндре.

Указание. Выразить Е и Н через векторный потенциал А и проинтегрировать дифференциальное уравнение для А.

384. Найти диссипацию энергии на единицу длины бесконечного проводящего кругового цилиндра, помещенного в поперечное относительно оси цилиндра магнитное поле, меняющееся с частотой ш.

385*. Бесконечный круговой цилиндр радиуса а с проводимостью сг находится в поперечном относительно его оси магнитном поле, поляризованном по кругу:

Но(<) = (Но1 + гНо2)е-**,