Глава VII

КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ НОЛЕ

§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках

Если период колебаний электромагнитного поля значительно превышает время распространения поля через систему:

Т», a;<f, (VII.1)

где с - скорость света, I - линейный размер системы, то можно пренебречь конечностью скорости распространения электромагнитных возмущений внутри системы. Такое приближение называется квазистащюнарным.

Ток в замкнутой цепи с э.д.с. S{t), емкостью С, индуктивностью L и сопротивлением R удовлетворяет в квазистационарном приближении дифференциальным уравнениям

dq I <fq dq I

где q - заряд на обкладке конденсатора.

При гармонической зависимости э.д. с. от времени = (§ое~**) и установившемся режиме ток пропорционален э. д. с:

• = 1 = <-k-f)- -

Величина Z называется комплексным сопротивлением (импедансом) цепи.

Собственная частота шо колебаний в контуре, состоящем из емкости С и самоиндукции L, дается формулой Томсона

Иногда квазистационарное приближение дает хорошие результаты и при нарушении условия (VII.1), например, в теории длинных линии. Подробнее об этом см. [101] § 107.

а2(<) = а2, a{t)b{t) = {ab*). (VII.7)

Например, среднее тепловыделение в контуре можно вычислить по формулам

Q = Re(.?J?*) = j?2ReZ. (VII.8)

Для разветвленной цепи дифференциальные уравнения, определяющие токи в отдельных участках, могут быть составлены на основе законов Кирхгофа.

Если 3. д. с. в линейном контуре наводится в результате электромагнитной индукции, она может быть вычислена с помощью закона Фарадея:

„нд = -§, (VII.4)

где Ф - поток вектора магнитной индукции через контур. Величина Ф может изменяться как вследствие изменения магнитного поля, так и в результате движения или деформации контура. Если имеется несколько индуктивно связанных контуров, то полный поток магнитной индукции через г-й контур Ф выражается формулой

Здесь - ток в fc-M контуре, Lik - при i ф к - коэффициент взаимной индукции между г-м и fc-м контурами, Ьц = Li - коэффициент самоиндукции г-го контура. (Определение коэффициентов индуктивности приведено в начале гл. V.)

Обобщенную силу, действующую на проводник с током в квазистационарном поле, можно вычислить по формуле

в которой W обозначает магнитную энергию системы, - обобщенную координату и производная берется при фиксированных значениях токов в проводниках. Магнитная энергия выражается через токи и коэффициенты индуктивности по тем же формулам, что и в статическом случае (см. формулы (V. 17), (V.20)).

При усреднении по времени произведений величин, меняющихся по гармоническому закону

ait) = аое-\ можно пользоваться формулами

350. Круглая проволочная петля радиуса а, находящаяся в постоянном магнитном поле Щ, вращается с угловой скоростью ш вокруг своего диаметра, перпендикулярного Щ. Найти силу тока в петле {t), тормозящий момент N{t) и среднюю мощность Р, которая требуется для поддержания вращения.

351. Плоский контур с электрическими параметрами R,L,Ch площадью S вращается с угловой скоростью ш в постоянном магнитном поле Щ вокруг оси, лежащей в плоскости контура и перпендикулярной Hq. Определить средний тормозящий момент N, приложенный к контуру.

352. В одном из двух индуктивно связанных контуров течет ток .{t) = Joe~. Индуктивности и сопротивления контуров заданы. Выразить среднюю обобщенную силу взаимодействия контуров через производную от коэффшщента взаимной индукции по обобщенной координате д».

353. В один из двух одинаковых контуров, имеющих сопротивления R и индуктивности L, включена э.д.с. S[t) = Soe~. Коэффициент взаимной индукции контуров Li2- Определить среднюю силу F взаимодействия контуров. Результат выразить через производную от коэффициента взаимной индукции по соответствующей координате.

354. Определить собственные частоты шх, Ш2 электрических колебаний в двух контурах (рис. 17), связь между которыми осуществляется через ем-

Рис. 17 KOCTbC(z=y

Указание. Составить систему алгебраических уравнений для определения токов и приравнять нулю определитель системы.

355. Решить предыдущую задачу для случая, когда связь между контурами осуществляется через индуктивность (см. рис. 17, Z = -шЬ/(?).

356. Найти собственные частоты колебаний c<;i,2 в двух индуктивно связанных контурах с емкостями С\, С2, индуктивностями Li, L2 и коэффициентом взаимной индукции Ьи-

357. Два контура связаны друг с другом через активное сопротивление (см. рис. 17, Z = R). Найти собственные частоты колебаний, считая связь слабой (Д велико).