Efc = - 1 I <fl{r)V\Q{r) dr + I ipl{r)U{r)Mr) dr. (8.7)

Интегрирование здесь выполняется по всему объему сферы Вигнера-Зейтца. Интеграл

%S(r)Vo(r)d3r = 0

в силу симметрии распределения заряда в ячейке. Анализируя выражение для энергии (8.7), видим, что первый член представляет собой энергию Ферми, а второй и третий - энергию Вигнера-Зейтца. Перепишем выражение (8.7) в более удобной форме:

к = Щ+£{0), (8.8)

е(0) = J l{r)V\o{r) dr + J ipUr)U{r)Mr) dr. (8.9)

В принципе в выражение для е(0) можно было бы еще ввести поправки на корреляцию и обмен электронов, однако, вычисления потребовали бы дальнейших упрощений и потому мы их здесь упускаем.

Выражение для энергии (8.8) показывает, что энергия возбужденных состояний fc О может быть подсчитана как сумма энергий свободного электроппого газа и энергии основного состояния в форме энергии Вигнера-Зейтца. В такой записи (8.8) закон дисперсии уже напоминает энергетическую зону.

Итак, определив функцию (ро{г), характеризующую распределение заряда внутри сферы Вигиера-Зейтца, можно затем построить и всю энергетическую зону, пользуясь выражением (8.8).

Можно рассчитать важную для оценки сил связи среднюю энергию, приходящуюся на один электрон, используя (8.8). Для этого необходимо, как это мы делали ранее, усреднить величину по сфере Ферми (3.19):

P = fc = (3%)3, (8.10)

8.2. Силы сцепления в металлах

Рассмотренный метод расчета электронных состояний в металле был построен на ряде допущений, касающихся вида волновой функции и вида кристаллического потенциала. Особенностью этих допущений, сделавших задачу разрешимой, является то обстоятельство, что здесь совершенно игнорируется структура металла и результат расчета зависит только от объема сферы Вигнера-Зейтца. Тем не менее, применение этого простого метода к определению дна зоны проводимости одновалентного металла, а, следовательно, и энергии связи дало результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом. Под энергией сцепления металлов обычно понимают разность между средней энергией валентных электронов и энергией валентных электронов в изолированных атомах, находящихся в основном состоянии. Последнюю энергию можно получить из спектроскопических данных. Обычно главный интерес в проблеме сцепления металлов представляет собой определение зависимости энергии сцепления от радиуса Rq. Ценность метода Вигнера-Зейтца и заключается в том, что он позволяет явно найти эту зависимость, хотя и численными методами. Минимум па 1фивой этой зависимости отвечает энергии связи, а соответствующий этому минимуму параметр решетки является равновесным. Кривизна кривой, как мы увидим, характеризует сжимаемость металлов. Если найти эту зависимость для де-

здесь п - концентрация электронов проводимости. Учитывая (8.8), можно записать выражение энергии, приходящейся на один электрон проводимости в приближении Вигнера-Зейтца:

B3=e(0) + (3%)i. (8.11)

В заключение отметим, что последовательное использование общего метода ячеек потребовало бы учета в выражении кристаллического потенциала добавочных членов: 1. Потенциала электростатического взаимодействия ячеек, 2. Потенциалов взаимодействия данного электрона с электронами, находящимися в данной ячейке и распределенных в других ячейках. Этот учет связан с очень громоздкими выкладками и мы его не будем здесь затрагивать, а пеносредствеппо используем вычисленную ранее (4.17) обменную энергию.

формированного металла, то можно определить и упругие характеристики среды.

В соответствии с определением энергия сцепления в металлах представляется выражением:

Е,=Ё,,+Ё„б-Еа-Ё1, (8.12)

здесь:

Еоб - средняя на электрон обменная энергия, Ei - средняя энергия корреляции на электрон,

Рвз = £(0) + {Зтгп} - эиергия Вигиера-Зейтца, Ец - энергия низшего состояния валентного электрона в изолированном атоме.

Согласно виду волновой функции Рк{г), вычисленной Вигнером-Зейт-цем, она в большей части характеристической сферы представляет собой плоскую волну. Это позволяет рассматривать обменные и корреляционные эффекты в предположении приближения свободных электронов. В связи с этим мы воспользуемся ранее полученными численными результатами этих поправок. Более точное определение корреляционных поправок может быть сделано на основе многоэлектронной модели взаимодействующего электронного газа. Отметим еще одну трудность, возникающую при расчете энергии сцепления металлов - это поляризация ионного остова. Она является следствием корреляции между валеитпыми электронами и электронами подвалептных уровней. Кроме того, флуктуирующий дипольный момент ионного остова должен Э1фанироваться компенсгфующей деформацией плотности валентных электронов, поэтому радиус поляризованного потенциала сравнительно невелик, меньше радиуса До. Однако, роль поляризационных эффектов в величине энергии сцепления металлов еще плохо изучена и является проблемой, как и в целом весь вопрос.

Приведем некоторые численные результаты расчетов сил сцепления в кристалле натрия. Итак, имеем:

а =-0.378, =вз-К = -0.089 -27.2