Главная страница  Электростатика проводников 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [ 25 ] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

/(г) + 1ikv!{r) - {к + а) Ml (г) = О (7.9)

и{г) + 2i ки{г) - {к - 0) U2{r) = 0. (7.10)

Решения этих уравнений хорошо известны и равны следующим выражениям:

иг{г) = Ае(-+В е"(7.11)

М2(г) =Се*(-=+) +1)6-* (7.12)

Решения для других участков потенциальной кривой (7.1) имеют тот же вид, что и (7.11), (7.12), лишь постоянные отличаются на фазовый множитель. Постоянные А, В, С, D следует выбрать, требуя, чтобы функция и[г) и ее производная и[г) были непрерывны в точках, соответствующих скачку потенциала U{r), т. е. при г = О, г = -6 (г = а):

Ml(0) =М2(0),

«i(0) = w(0), Ui{-b) = U2{a).

Периодичность решетки позволяет утверждать, что условия непрерывности (7.13) должны выполняться и во всех других точках разрыва потенциала и{г). Присоединяя условия (7.13) к решениям (7.11) и (7.12), находим:

А + В -С - D = 0,

{ik-a)A + {ik + а)В - i {к - (3)С - i {к + 0)D = О,

g(i k-a)b g(i k+a)b Q gi (-k+l3)a £) g-« (k+P)a q

{ik- a)Ae(=-") + {ik + a)B e(=+")-

-i {k - p)C e (-=+3)» -i{k + p)D e (=+3)" = 0.

Запишем определитель этой системы уравнений отпосительпо произволь-

Тогда последние уравнения можно переписать так:



ных постоянных:

(ifc-а)

(ifc + a) -z(fc-/3) -i{k + (i)

{ik - a) 1

g-(jfc+a)b

g{ik+a)b

{ik + a) 1

gi{-k+l3)a -г{к+13)а -i{k-p) -i{k + p)

Разрешим его, последовательно подсчитывая определители третьего порядка, относительно волнового вектора к. Имеем, после перехода к тригонометрическим и параболическим функциям:

cos(fc(a + Ъ)) = ch(a6) cos(/3a)

2а/3

sh{ab) sin(/3a).

(7.14)

Это выражение дает важную связь волнового вектора к с параметрами а и /3. Так как, согласно (7.7) и (7.8), имеем

2 2т гг д2

(7.15)

то, задавая волновому вектору различные значения, можно найти зависимости а{к) и (3{к), или е{к).

Используя зависимость (7.14), затем можно было бы определить и сами функции м(г). Однако прямое решение уравнения (7.14) не возможно вследствие его трансцендентности. Согласно Кропигу-Пенни, это уравнение может быть значительно упрощено в предельном случае малых толщин потенциальных барьеров. Пусть b стремится к нулю, с другой стороны можно потребовать, чтобы обрезающий потенциал Uq стремился к бесконечности. С учетом этих условий и условия (7.15) уравнение (7.14) упрощается:

cos(afc) = cos(/3a) + ЩЬ

(7.16)

Мы использовали здесь:

sh(a6) и аЬ, ch{ab) Введем обозначение

1 при 60.

(7.17)



чтобы величина Р оставалась постоянной, можно потребовать постоянства иф при переменных Uq и Ь.

С учетом введеппых обозиачепий выражение (7.16) принимает вид:

cos(a/c) = cos(/3a) +P-j. (7.18)

Это хорошо известное уравнение Кронига-Пенни, определяющее явную связь между собственным значением энергии е и волновым вектором к. Величина Р теперь является приведенным обрезывающим потенциалом.

Очевидно, что если правая часть уравнения (7.18) будет меньше единицы, то волновой вектор является вещественным числом и решения (7.11) и (7.12) имеют смысл, если правая часть больше единицы, то к есть мнимая величина и (7.11) и (7.12) обращаются в бесконечность. Трансцендентное уравнение (7.18) уже можно решить графически для любого значения вектора к. Для этого построим зависимость правой части уравнения от /За; Если /За = О, то, учитывая, что

lim = 1,

находим

, , sin(/3a) cos(/3a) + Р = 1 + Р.

С ростом /За до +7г эта функция убывает, становясь равной -1 при тг = /За, при /За > тг функция продолжает убывать и, достигая минимума, затем вновь растет, принимая при /За = 2тг значение +1. Далее при /За > 2тг она становится больше единицы, достигает максимума и затем опять убывает и т. д. Аналогичная картина складывается, когда /За изменяется в сторону отрицательных углов. На рис. 5 приведен качествеппый ход рассматриваемой зависимости

cos(/3a)+P = /(/3a).

Очевидно, что при /За = 27ггг, где гг = ± 1, ±2, ..., ±7V, функция / = +1, при /За = (2гг + 1)7Г имеем / = -1.

Значения /За, удовлетворяющие условию (7.18), т. е. корни этого уравнения, получим, проводя прямые параллельные оси /За, и на расстоянии cos ка от нее. Меняя /са от О до тг и проводя соответствующие прямые.




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [ 25 ] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

0.037