Главная страница  Электростатика проводников 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [ 24 ] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

Сумму обратных векторов можно обозначить одним вектором G+G = G", G = G" - G. Таким образом, последнее выражение можно переписать так:

ак+с{£к+с -Е)+ Uc-cak+G" = 0. (6.25)

G"

Это есть уже полученная нами ранее система уравнений (6.7) (в других обозначениях) для определения коэффициентов ai в выражении волновой функции возмущенной системы (6.24). Следовательно, тот же результат может быть получен, используя метод операторов вторичного квантования.



Лекция 7

7.1. Приближение Кроиига-Пеини

До сих пор мы не делали никаких предположений, касающихся зпаче-пия периодического потенциала системы ионов U{r). В действительности этот потенциал не представляет собой монотонную функцию, а имеет резкие перевалы вблизи каждого узла решетки. Это значит, что у него имеются фурье-компоненты с очень малой длиной волны, это приводит к плохой сходимости рядов, составленных из фурье-образов Uq. В связи с этим приближение почти свободных электронов в чистом виде не может быть реализовано и становится пригодным благодаря введению приема, связаппого с псевдопотенциалом. Тем не менее, все качественные выводы модели почти свободных электронов носят абсолютно всеобщий характер и составляют основу всех последующих приближений. Оставляя рассмотрение указанного приема до следующего параграфа, сделаем сейчас некоторые предположения относительно потенциала U{r). Грубым приближением к реальному распределению его в одномерной решетке является предположение о наличии обрезающего потенциала Uq, позволяющее записать потенциальную энергию электрона в поле решетки в виде:

Рис. 4

здесь 5{х) - дельта-функция Дирака. Таким образом, потенциальную энергию электрона можно графически изобразить в форме ступенчатой кривой из одинаковых элемеи-

тов-ступенек (рис. 4), а - ширина потенциальной ямы, ао - параметр решетки.



Запишем одномерное уравнение Шредингера для электрона, движущегося в периодическом поле, аналогичное (5.5)

" + [£-С/(г)]=0.

(7.2)

Мы уже знаем (стр. 63), что это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами. Решениями его, согласно теореме Блоха, являются функции (5.6):

(7.3)

Эти решения полностью будут определены, если известна зависимость величины к от коэффициентов уравнения (7.2). Подставим потенциал Крони-га-Пенни (7.1) в уравнение (7.2):

, 2ш

е -г/о 5{г - па)

= 0.

(7.4)

Рассмотрим это уравнение в главном интервале ступенчатости, т. е. там где мы выбрали начало координат. Периодичность решетки обеспечивает нам справедливость произвольного выбора начала координат:

е - Uo)ipi =0, -6 г О

+ е2 = О,

О г а.

Подставляем в эти уравнения функцию Блоха (7.3):

(7.5) (7.6)

ul{r) + 2i ки[{г) -

k+f{Uo-e)

<(г) + 2г kuir) -Здесь удобно ввести обозначение:

Mi(r) =0

M2(r) =0.

(7.7) (7.8)




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [ 24 ] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

0.0245