к к а • I

= Е Е fefefcCr+Cfc, = EkClCk., (6.20)

кк cr к а

H = Y,EkClCk.. (6.21)

/с, (7

Здесь мы использовали то обстоятельство, что функции Блоха (6.19) образуют ортонормированную систему и каждая из них описывает состояние с энергией Ек.

Таким образом, многочастичный оператор Блоха в представлении операторов вторичного квантования по функциям Блоха имеет вид (6.21). Однако, иногда удобно представить оператор Блоха (6.18), используя формализм вторичного квантования по плоским волнам. Проделаем соответствующие выкладки без пояснений:

Н = j ф+{г)ф{г)(1г + J ф+{г)и{г)ф{г) d?r =

+ Y.Y.k.CkJe--W{r)e-dr =

к к а •

= Y.Y. >Skk>Ct.Ck.+ Е Е CtC>l e--Uae dr =

кк (т кк (jG •

= YSkClCk. + EEUoC+G.Ck..

ка- kG (т

здесь:

Ug = Un - фурье-образ периодического потенциала U{r). G - вектор обратной решетки. Итак, оператор Блоха (6.18) в представлении операторов вторичного кван-

ратор (6.18):

тования по плоским волнам можно записать так:

Я = С,. + VgCUg.Cu.. (6.22)

ка- kG (т

Если сюда включить еще оператор (4.39), описывающий взаимодействие в системе электронного газа, представленный также в необходимой форме, то гамильтониан взаимодействующего электронного газа в периодическом поле решетки имеет вид:

к(т kG а

+ Y.Y.Y.-fi {си.CUg,.Су.Ск. п) . (6.23)

кк стст Сфй

Это полный гамильтониан системы, вторично проквантованный по плоским волнам. Он очень удобен в работе и мы им будем неоднократно пользоваться.

А сейчас рассмотрим, как можно решить задачу о состояниях электронного газа в периодическом поле решетки в формализме операторов вторичного квантования. Мы будем пользоваться гамильтонианом (6.22), считая, что в системе имеется один электрон и большой набор возможных электронных состояний h. Такой прием вызван тем, что нам необходимо найти зависимость одночастичной энергии от волнового вектора. Основное состояние системы задается гамильтонианом SkCCka, возмущением служит

периодический потенциал. Обозначим одночастичную волновую функцию состояния i в компактном виде числа частиц в этом состоянии:

Поскольку имеется возмущение, то истинная волновая функция Ф не будет совпадать с одночастичной функцией, а должна быть выражена в форме линейной комбинации этих функций

Ф = а...гг ...). (6.24)

Запишем далее уравнение Шредингера с гамильтонианом (6.22), причем,

i к G

Используя свойство ортогонально сти одночастичпых волновых функций и раскрывая соответствующие матричные элементы, находим

aiSjSji + YaiY UGSj+G,i = E

i i G i

или, преобразуя, можно записать так:

аг{е,5,г - E5ji) + Е G<j+G,г = О,

г i G

однако ai5ji = Uj, ai5jG,i = ctj+G, тогда

aj(£j -E) + Y UgUj+g = 0.

Здесь, как и ранее, индексы нумеруют электронные состояния. Пусть состояние i определено как {к + G), где G - вектор обратной решетки:

ак+с{£к+с -Е) + Ucak+G+G = 0.

чтобы показать, что рассматривается одночастичная задача, придадим индексу к значок «штрих» и опустим спиновый индекс а

V к к О )

X . . . Иг . . ) = ECii\. . . Щ . . .) .

Умножим левую и правую часть этого уравнения на сопряженную функцию а, Ек {...щ .. .\С+Ск +

+ Е«» Е ио.{...щ ...\Ct,+GCk \...щ...) =

= Eai {... rij ... \... Hi ...).