Главная страница  Электростатика проводников 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [ 20 ] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

зоне Бриллюэна находится iVi х iV2 х N3 разрешенных значений волнового вектора к. Итак, зона Бриллюэна содержит столько допустимых значений вектора к, сколько элементарных ячеек содержит макрокристалл. Увеличение размеров макрокристалла просто увеличивает плотность состояний в fc-пространстве.

Пусть объем макрокристалла, содержащего = N1 N2 Щ ячеек, равен V, тогда на одну ячейку приходится объем w„ = (v/N) прямого пространства. Этот объем связан с объемом ячейки обратного пространства соотношением (5.28):

Отсюда можно легко найти объем обратного пространства, непосредственно связанный с данным волновым вектором к

= (5 35)

Обратная этому значению величина очевидно представляет число разрешенных значений вектора к в единице объема fc-пространства:

и служит весовым множителем при переходе от суммирования к интегрированию в обратном пространстве (3.10).



Лекция 6

6.1. Энергетический спектр электрона в ноле с периодическим потенциалом

Как и раньше, нас будет интересовать в рассматриваемой модели, главным образом, основная характеристика электронного газа - закон дисперсии, т. е. связь энергии с квазиимпульсом. Сейчас у нас имеются все необходимые сведения, позволяюш;ие найти явный вид этого закона. До сих пор нам приходилось иметь дело с квадратичным по квазиимпульсу дисперсионным соотношением, вытекаюш;ем из приближения свободных электронов. Оно утверждало, что энергия является непрерывной функцией волнового вектора при всех его значениях.

Итак, рассмотрим энергетический спектр электронного газа, слабо воз-MynieHHoro периодическим полем решетки. Такое приближение для одно-электронной модели известно как приближение почти свободных электронов. Обратимся непосредственно к одномерной модели и разберем математическую сторону вопроса, а затем остановимся на физических предпосылках приближения.

Прежде всего используем свойство периодичности потенциала решетки и{г) и разложим его в ряд Фурье по векторам обратной решетки, так же, как мы ранее разлагали в ряд функцию м(г):

U{r) = J2Unexp{iGr,-r), (6.1)

здесь Un - Фурье-образ потенциала U{r). Выражение (6.1) показывает, что потенциал U(г) представляет собой функцию, определенную на дискретном пространстве узлов решетки. Предположим, что U(г) есть слабое возмущение и воспользуемся обычной теорией возмущений, беря за основное состояние свободный электронный газ, т. е. плоские волны и энергию



/ e--U{r)e>-(fr

(6.2)

2m У - o o,

здесь i? = --энергия невозмущенного состояния.

Рассмотрим матричный элемент

Mkk = 1 e-*=--C/(r)e*-dV= / С/„е» dr,

здесь использовано соотношение (6.1). Согласно правилу отбора Mky = = YUn, если к - к + Gn = О, я Mkk = О, если fc - fc + G„ 0. Следо-

вательно, периодичность потенциала U(г) накладывает на матричные элементы перехода жесткое требование, являющееся центральным моментом приближения:

к -к = Gn. (6.3)

Таким образом, можно переписать разложение (6.2) с учетом периодичности потенциала U{r):

п k+G„

Очевидно, чтобы разложение (6.4) имело смысл, необходимо потребовать, чтобы основное состояние было невырожденным, т. е. Е ф fc+c иначе Еу. 00. Это значит, что объем обратного пространства, занятый невозбужденными состояниями, не должен достигать зоны Бриллюэна. Однако, это не так. Поэтому, вероятно, нужно попробовать определить энергию возмущенного состояния из уравнения Шредингера, используя функцию Блоха в форме (5.27), когда периодическая часть функции разложена в ряд Фурье по векторам G„:

Ч>к{г) = СкпЩ{г(к Gn)-r). (6.5)

= Для энергии возмущенного состояния получаем:




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [ 20 ] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

0.0184