3. Цшиндрические функции

Между функциями Jp, Np и Я (общий символ Zp), а также /„, Кп существуют следующие соотнощения:

Zp i(x) + Zp+i(x) = Zp(x), Zp i(x) - Zp+i(x) = 2Zp{x), Z{x) = -Zi(x);

Vi(x) - /p+i(x) = /p(x), Vi(x) - /p+i(x) = 2/;(x),

Kp-i{x) - Kp+i{x) =-Kpix), Кр-г{х) + Кр+г{х) = -2Кр{х). Функции Бесселя могут быть представлены в виде интегралов

(П3.9)

(ПЗ.Ю)

а+2п

a+2ir

J„(x) = / e»(""")d¥= У" e»(™-")d¥3. (ПЗ.П)

где а - любое вещественное число.

Интегралы с функциями Бесселя могут быть вычислены с помощью формул (П3.9), (ПЗ.Ю). В частности,

jxZpix)dx = x% i(x), jx-Zpix)dx = -x-Zp+iix), (П3.12)

aJp{a)Jp{p)-pJp{p)Jp{a)

xJp{ax)Jp{/3x)dx =

/32-«2

(П3.13)

В настоящем сборнике задач используются также следующие интегральные формулы (Refc > 0):

1 7

(p2 + ;j2) 2 = I e-\\Mkp)dk,

cos pxdx

(?T2j7TT

Jo{xr)xdx

x2 + fc2

-Hi)

Ko{kr).

к ,{m)

s+l/2 s+2

r(s + l)

(П3.14)

(П3.15) (П3.16)

Сферические функции Бесселя первого рода и сферические функции Ханкеля первого и второго рода (общий символ zi{x)) определяются равенствами:

При малых х:

= 211-)\V Г() Расходигся как х

-1-1

При больших х:

jl{x) = - COS

(/+1)

Если R= r - rl (см. рис. 7), то имеет место разложение:

(П3.17)

(П3.18)

(П3.19)

= 4mkY,3iikr)hl\kr)YiMa)Yil,id,a) (г > г). (П3.20)

Функции zi{kr)Yim{d,a) являются частными решениями волнового уравнения для монохроматических волн Aip + klp = 0. Последнему уравнению удовлетворяют также суперпозиции функций указанного вида.

ЛИТЕРАТУРА

Иваненко Д. Д., Соколов А. А. [57], Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. [31], Лебедев Н. Н. [68], Гобсон Е. В. [39], Грей Э., Мэ-тьюз Г. Б. [44], Розег Т. А. [89], Стрэтгон Дж. А. [100], Рыжик И. М., Градпггейн И. С. [90], Двайт Г. Б. [50], Янке Е., Эмде Ф. [119].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Абрагам-Беккер, Теория электричества, ГОНТИ, 1939.

[2] А л ь в е н Г., Ф е л ь т X а м м а р К. Г., Космическая электродинамика, «Мир», 1967.

[3] А л ь п е р т Я. Л., Гинзбург В. Л., Ф е й н б е р г Е. Л., Распространение радиоволн, Гостехиздат, 1953.

[4] А р ц и м о в и ч Л. А., Управляемые термоядерные реакции, Физматгиз, 1961.

[5] А X и е 3 е р А. И., Б а р ь я X т а р В. Г., К а г а н о в М. И., Спиновые волны в ферромагнетиках и антиферромагнетиках, УФН 71, в. 4, 533 (1960).

[6] Ахиезер А. И., Б е р е с т е ц к и й В. Б., Квантовая электродинамика, Физматгиз, 1959, изд. 2-е; «Наука», 1969, изд. 3-е.

[7] Ахиезер А. И., Ф а й н б е р г Я. Б., Медленные электромагнитные волны, УФН 44, в. 3, 321 (1951).

[8] Балдин А. М., Гольданский В. И., Розенталь И. Л., Кинематика ядерных реакций, Физматгиз, 1959.

[9] Б а с о в Н. Г., К р о X и н О. Н., П о п о в Ю. М., Генерация, усиление и индикация инфракрасного и оптического излучения с помощью квантовых систем, УФН 72, в. 2, 161 (1960).

[10] Б е й т м е н Г., Математическая теория распространения электромагнитных волн, Физматгиз, 1958.

[11](Бейтмен Г., Эрдели А., Магнус В., Оберхеттин-гер Ф., Трикоми Ф.) Bateman Н., Erdelyi А., Magnus W., Oberhettingen К, Tricomi К, Higher Transcendental Functions, v. I, II, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1953.

[12] Беккер P., Электронная теория, ГОНТИ, 1936.

[13] Бергман П. Г., Введение в теорию относительности, ИЛ, 1947.