Решением уравнения Лапласа является также суперпозиция шаровых гармоник с произвольными коэффициентами

оо I

= Е Е (<1тг-- + bimr)Yim{d,a). (П2.12)

J=0 m=-l

Если r(r, 1?, а) и r(r, а) - радиусы-векторы двух точек пространства, причем г > г (см. рис. 7), то

4 = r4l = -= У -7Т77г(со87). (П2.13)

R г-г r-2-2rrcos7 + r-2 tr+i " >

Функхщя 1/R называется производящей функцией для полиномов Лежандра. Имеет место следующая теорема сложения для сферических функхщй:

(°S7) = 2 Е У1т{д,а)Уг1,{д,а). (П2.14)

т=-1

Углы 1?, а И д, а! входят в (П2.14) вполне симметричным образом. Подстановка (П2.14) в (П2.13) приводит к разложению:

где dSl = sin dddda - элемент телесного угла, и что произвольная функция от а с интегрируемым квадратом модуля может быть разложена в ряд

f{d,a) = Y,<4rnYim{d,a). (П2.9)

Коэффициенты Щт определяются формулами

ajm = j YCmid,a)ma)dn. (П2.10)

Функции вида r~~Yim{d,a) и ryjm(., а) называют шаровыми гармониками. Легко проверить с помошью (П2.4), что шаровые гармоники являются частными решениями уравнения Лапласа во всех точках, кроме г = 0:

A[rYlMa)] = 0. (П2.11)

3. Цшшдрические функции 629

Из формулы (П2.13) следует (если положить = е") разложение:

--= = Ve-+2Pj(cos7,). (П2.16)

Vche-cosT?

3. ЦИЛИВДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Цилиндрические функции Zp{kx) являются решениями уравнения Бесселя

Решение, которое при р о ограничено в точке г = о, называется цилиндрической функцией первого рода (или функцией Бесселя):

W = gE(--)%.„rg;,,)- (П3.2)

Так как в уравнение (П3.1) входит j?, то J p также является решением этого уравнения. То же относится к любой линейной комбинации Jp и J p. Цилиндрическая функция второго рода (функция Неймана) определяется следующим образом:

Jp(x)cosp.-J-p(x) > зшртг

Часто употребляются также цилиндрические функции третьего рода (функции Ханкеля):

Я(1)(х) = 7р(х) + гад,1 Hf\x) = Jp{x)-iNp{x).]

В качестве общего решения уравнения Бесселя может быть взята линейная комбинация с произвольными коэффициентами любых двух линейно независимых цилиндрических функций. Такими функциями являются, в частности, Jp{x) и J-p{x), если р не равно целому числу. При р = п.

Эту функцию называют иногаа функцией Вебера и обозначают Yp(x).

где п - целое, функции Jn(ar) и J-n{x) = (-l)"J„(x) линейно зависимы, и тогда в качестве общего решения можно взять, например, линейную комбинацию J„ и ЛГ„.

Цилиндрические функции от чисто мнимого аргумента называются модифицированными функциями Бесселя. При целом п они определяются равенствами:

1п{х) = г-» J„(ix), Кп{х) = г»+1Я1)(гх). (П 3.5)

Функция Кп{х) называется функцией Макдональда.

В физических задачах часто требуется знать приближенный вид цилиндрических функций при малых и больших значениях аргумента. При ж 1 имеем:

2РГ(р+1)

Jn{x)

Jo(x)wl-, /о(а:)и1 + ,

ж"

2»п!

1п{х)

п \

2"п!

2»(п - 1)! 2"-Чп - 1)! п{х) «---fi-, Кп{х) «--

JVo(x)«ln, Ко{х)\п,

(П3.6)

где n 1,1п7 = 0,5772.

Выражения для функций Ханкеля при х < 1 могут быть получены из (П3.6) с помощью (П3.4). В частности,

ffr(x)«l±lnf = ±ln(). (П3.7)

Асимптотические выражения для цилиндрических функций (ж » 1):

ад.Дсо.(х--),

7„(ж) w

\/27гж

(П3.8)