При кип целых

fc-oo

1щ2кх= у 5{х-пп). (П1.14)

smx

Легко убедиться в том, что любое из представлений (П1.12-П 1.14) согласуется со всеми определениями (П 1.1-П 1.5), а также с определением (П 1.9) производной от J-функции. При вычислении интегралов вида / f{x)6{x -- a)dxc помощью представлений типа (П 1.12-П 1.14) нужно иметь в виду, что предельный переход должен производиться после выполнения интегрирования, например при использовании (П 1.12):

j f{x)6{x -a)dx=limj f{x)6{x - a) dx.

Путем рассмотрения интеграла Фурье (или с помощью представления (П 1.13)) можно получить еще одно полезное представление J-функции:

оо оо

6{х) = j e<"dk = jcoskxdk. (П1.15)

-00 о

К (J-функции близки две другие обобщенные функции 5+{х) и 5-{х). Они определяются равенствами, сходными с (П 1.15):

6±{х) = e***=dfc. (П1.16)

Функции 6+ и 6- связаны с (J-функцией соотнощениями

<J±(x) = i<J(x)±pi (П1.17)

Свойства (J-функции приобретают многие несингулярные функции, зависящие от параметра, при определенных предельных значениях этого параметра. Например:

<J(x) = lim i • (П1.12)

6{x)=\im--, (П1.13)

Six) = lim (П1.14)

Ol o+e

где ai < a < аг, £ > 0.

Если аргумент J-функции является однозначной функцией независимой переменной х, то имеет место формула

где ttj - корни уравнения (р{х) = 0.

2. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА

Сферическая функция порядка I, тп, зависящая от полярных углов д, а, определяется формулой:

в которой целые числа /, тп удовлетворяют условиям Z О, -Z < m < Z; 5т = (-1)"* при m о, (Jm = 1 при m < 0. Через Pim обозначен присоединенный полином Лежандра

Часто вместо обозначения Р f используют обозначение -f.

так что 5{х) = 5+{х) + 8-(х). Символ Р в формуле (П 1.17) представляет главное значение интеграла:

а2 0.2

jПх)5ф -a)dx= i/(a) ±±.pjM. =

Ol Ol

2 27Ге-»о[у x-a J x - a у

(П2.3)

Присоединенные полиномы Лежандра удовлетворяют дифференциальному уравнению

(х2-1)

dPlmix)

Plrnix) = 0.

(П2.4)

Приведем некоторые формулы, полезные при работе со сферическими функциями:

Vim(0,0) = УршО, Yim{,a) = (-1)У;т(7Г - 1?,7Г+ а),

Р,(1) = 1, Р2п(0) = (-1)""2,". P2n+i(0) = 0;

{I + l)Pj+i(x) = {21 + 1)хРг(а;) - Ш-1(ж), 2 ,ч(а;)

(х-1):

= Z[xP(x)-P i(x)].

(П2.5) (П2.6)

Сферические функции с Z = О, 1, 2 имеют вид:

Ум = -7=, У1й

3cOs2l?-l

12,±1 = Tll sini?cosi?e±-, У2,±2 = ysin2 i?e

(П2.7)

Сферические функции образуют на поверхности сферы полную ортонормированную систему функций от д, а. Это означает, что

YCm{,a)Yi.m{,a)dn = 6w6„

(П2.8)

Символом п!! обозначено произведение всех последовательных целых чисел, имеющих ту же четность, что и п, от 2 до п при п четном и от 1 до п при п нечетном.

где Pi{x) - обычный полином Лежандра. Он совпадает с Pim{x) при m = 0: