870. v = "j + * k" ~ отсутствие теплового

движения Vg = 0. Таким образом, плазменные колебания распространяются в результате переноса электромагнитной энергии частицами.

871. а) р(г, t) = р(г, 0) coswpt,

б) p(x,t) = «{A»x§(,g:,,,)3/.exp[-gji - гшрг] },

где /? = В случае б), кроме плазменных колебаний плотности за-

ряда с частотой Шр, происходит его релаксация из-за теплового движения частиц, р{х, t) = 0 при t -> оо.

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. <5-ФУНКЦИЯ

J-функция Дирака определяется равенствами:

г(х-а) = "Р" (П1.1)

00 при х = а;

5{x-a)dx=l. (П1.2)

Интегрирование в (П 1.2) выполняется по промежутку А произвольной длины, содержащему внутри себя точку а.

J-функция удовлетворяет следующим соотнощениям:

5{х) = 5{-х1 (П1.3)

f{x)5{x-a)dx = f{a), (П1.4)

5{ах) = -Жх), (П1.5)

где /(х) - непрерывная фушщия.

Трехмерная й-функщм определяется аналогичными соотношениями:

5{т - а) = 5{х - ах)5{у - ay)5{z - az) = (П1.6)

00 при г = а;

/ /(г)<5(г -.)dV=[ " внутри обьема V,

J \ О, если а вне обьема V.

Здесь /(г) - непрерывная фушщия.

Математичесю! корректное определение б-функции требует обобщения обычного понятия функции (см.: И.М.Гельфанд, Г.е.Шилов «Обобщенные функции и действия над ними», т. I, Физматгиз, 1958; В.С.Владимиров «Уравнения математической физики», «Наа», 1967). <$-функция относится к классу сингулярных обобщенных функций.

Рис. 135

С помощью (J-функции можно описывать распределение в пространстве заряда точечной частищл. Обьемная плотность такого распределения

р(г) = e(J(r - а), (П1.8)

где е - заряд частищл, а-радиус-вектор точки, в которой находится частица.

Можно определить также производную от ($-функ1щи. Точный ее смысл содержится в формуле

(X)

д6{х-а) , df{a) ах = -

(П1.9)

которая получается интегрированием по частям. Аналогично определяются производные высших порядков:

j-a)dx= (-1)"/"(а)- (П 1.10) д

Сама (J-функция может рассматриваться как производная от функции, испытывающей в некоторой точке а конечный скачок 6. Если /(а -Ь 0) - /(а - 0) = 6, то

= Ь6{х -а)+ ограниченная функция. (П 1.11)

Наглядное представление о J-функции и ее производных можно получить, рассматривая график некоторой непрерывной функции S{x - а, а), такой что /6{х - a,a)dx = 1 (рис. 135). Параметр а характеризует ши-д

рину промежутка, в котором 5{х - а, а) отлична от нуля. (J-функция и ее производные определяются как пределы:

S(x - а)= lim S(x - а, а),

а-►о

dS{x - а) д6{х - а, а)

--= lim---

дх а-»о дх

и т.д.