т.е. F ~ l/u. Максимуму F, очевидно, будет соответствовать значение и ~ Vj-, при этом обе формулы (8) и (9) дадут одинаковое значение

47гт1еЛ

Примерный ход функции F{u) представлен на рис. 134.

(10)

Рис. 134

Если поле в плазме Е < Fmax/e = Ed, то сила торможения при некотором значении и, удовлетворяющем равенству F{u) = еЕ, превысит ускоряющую электрическую силу еЕ, и электроны не смогут больще ускоряться. Это - область значений поля Е, при которых имеет место обычный закон Ома. В случае Е > Ео ускоряющая сила превыщает торможение, и электроны получают возможность ускоряться неограниченно. Это явление получило название «убегающих электронов».

Подставляя = ЗкТ/т в формулу (10), получим

р 1 еА

Атте

Точный расчет для этого же случая дает ([28], в. 1)

Ed = 0,214

Т)2-

(12)

Наща порядковая оценка дала результат, близкий к точному значению.

Критическое значение поля Е = Ed называется драйсеровским.

действительности из-за коллективных эффектов электронный газ как целое не ускоряется, его сопротивление может даже возрастать.

dx" Атгг) dx

Из последнего равенства следует, что Р + зависит только от z. Но

так как H/Sn от z не зависит. Поэтому равенства (1) и (2) представляют собой систему обыкновенных линейных уравнений для определения неизвестных функций v{x), Hz{x). Исключая из них получим уравнение

относительно и = 4: dx

--,« = 0, х, = --, (5)

из которого следует

V = хо(Лехр[] - Яехр[-]) +С. (6)

Граничные условия имеют вид v(±a) = О, так как вязкая жидкость у стенки неподвижна. Кроме того, из соображений симметрии следует v{x) = v{-x).

§ 2. Коллективные движения в плазме

860. Естественно предположить, что скорость движения жидкости направлена вдоль оси z и зависит только от поперечной координаты х. Поскольку движущаяся проводящая жидкость увлекает за собой силовые линии магнитного поля, то при движении должна возникнуть продольная составляющая магнитного поля Hix). Таким образом, неизвестные функщш V и Н ищем в виде v(0,0,u(x)); Н(Яо,0,Яг(х)); при этом уравнения (XIV.9), (XIV. 10) удовлетворяются тождественно. Уравнения (XIV.7), (XIV.8) принимают следующий вид:

dv с dHz Q dx АжаЩ dx

§ 2. Коллективные движения в плазме Из граничных условий и (6) находим

v{x) = щ

где Vo - новая постоянная, имеющая смысл скорости в средней плоскости x = 0. Vq можно выразить через градиент давления:

vo = -

ахо хо 1 dp

Магнитное поле определяется из (2), (7) и граничных условий Hz{±a) = 0:

Hz{x) =--y/arjvo-

Отнощение а/хо = М называется числом Гартмана. При М < 1 имеем

a-dp / 2

(10)

как в обычной гидродинамике. Магнитное поле Яг = О в первом порядке по числу Гартмана. Продольное поле Hz появляется только в следующих приближениях.

В противоположном предельном случае М » 1 получаем

dp . . /, го - ж-\

Сравнение (10)с(11) показывает, что средняя скорость движения уменьща-ется с ростом Щ, а профиль скоростей становится более плоским в средней части потока, но резко меняется в слое толщиной жо у стенок. Продольное магнитное поле в этом пределе имеет вид

47го\/ф /

(12)

Как видно из формулы, оно убывает с ростом числа Гартмана. Наибольшую величину Hz имеет при М и 1.