где е и е - заряды электронов и ионов, п и ЛГ - их концентрации.

Величина А называется кулоновым логарифмом. Пренебрегая слабой зависимостью А от v, можно считать А = const, где const - число порядка 10.

855.

F(v) = -fee"X f ffiV){dV), (1)

где fj, = I - приведенная масса.

т-\-ш

Полезно иметь в виду следующую электростатическую аналогию: выражение (1) можно записать в виде электрической силы F = Б, с которой

действует на заряд q = - ее"\ «электростатическое поле»

E(v) = -gTad(v), (2)

VP(v) = j

/(v)(dv)

- «электростатический потенциал», удовлетворяющий уравнению Пуассона

Av¥(v) = -47r/(v).

856. Энергия пробной частицы не меняется при столкновениях с неподвижными бесконечно тяжелыми частицами. Изменение среднего импульса описывается уравнением

где F - средняя сила. Ее удобно вычислять с помощью электростатической аналогии, указанной в решении предыдущей задачи. Распределение

и те частицы, которые пролетают от нее сколь угодно далеко. Фактически в плазме любой заряд экранируется зарядами противоположного знака, поэтому с любой частицей взаимодействуют только те частицы, которые пролетают от нее на расстояниях, не превышающих радиуса экранировки. Для статистически равновесной плазмы радиус экранировки был вычислен в задаче 308 (радиус Дебая-Хюккеля):

v(t) = Vo ехр

где т = -75--характерное время потери частицей направленной

47ге е п\

скорости. 857.

{О при V < Vo,

47геех( + ) при v > щ. \тп т / v

858.

-47reV2Anf + ) при лг-лго>у1 \т т / v

47reV2Anf + ) при wwoKvl \т т / v

859. На электрон, движущийся со скоростью v в среде неподвижных однозарядных ионов, действует сила трения

р 47ге*пА V -1

(см. рещение задачи 856). Отметим, что зависимость силы F от скорости можно получить и из следующих полукачественных соображений. Сила трения есть потеря импульса частицей в единицу времени из-за столкновений. Если среднее время между столкновениями т, а при каждом столкновении теряется импульс порядка полного импульса частицы mv (это означает, что в результате столкновения электрон отклоняется на большой угол), то

по скоростям частиц среды описывается функцией /(v) = n5(v). Поэтому tp{-v) = n/v, E(v) = nv/v,

F = -te2e-nAj, (2)

F имеет характер «силы трения», стремящейся уменьщшъ направленную скорость частицы. Но это трение тем меньще, чем больще скорость частицы (F ~ l/v, «падающее трение»).

Интегрируя уравнение (1), найдем

При таком столкновении электрон подходит к иону на расстояние, на котором его кинетическая энергия - порядка потенциальной:

« f (3)

Это приближенное равенство позволяет оценить сечение столкновения

а « 7гг2 « (4)

и среднее время между столкновениями

«J «iIlV. (5)

Подставляя т в (2), находим F w тгпе учитывая тормозящий ха-

рактер силы,

F«-4zm, (6)

что отличается от (1) отсутствием кулонова логарифма А. Но это естественно: при оценке по формулам (2)-(5) мы не учитывали далеких столкновений с малыми передачами импульса, вклад которых и дается кулоновым логарифмом.

Усредним теперь формулу (1) по возможным скоростям электрона. Для этого положим

v = u + Vt, (7)

где Vt - тепловая скорость, и - скорость, приобретаемая под действием электрического поля Е. При и<щ можем положить в знаменателе выражения (1) и . В числителе же нельзя пренебречь и по сравнению с Vt, так как при усреднении по направлениям тепловой скорости получим Vt = 0. В итоге будем иметь

F=u, (8)

где под Vj теперь нужно понимать величину порядка средней тепловой скорости. В случае распределения Максвелла v = ЗкТ/т. Таким образом, при U < Ut получаем F и.

При U » Ur полагаем и и и и получаем

F, (9)