ЗАДАЧИ

Глава I

ВЕКТОРНОЕ И ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§ 1. Векторная и тензорная алгебра. Преобразования векторов и тензоров

Скаляром (инвариантом) в трехмерном пространстве называется величина, которая не изменяет своего значения при поворотах координатной системы.

Вектором в трехмерном пространстве называется совокупность трех величин, преобразующихся при поворотах системы координат по формулам

A, = Y,oikAk. (1.1)

fc=i

Здесь Ak - проекщш вектора на оси исходной, а - на оси повернутой системы координат; агк - коэффициенты преобразования, представляющие собою косинусы угдов между к-а осью исходной и г-й осью повернутой системы координат.

В дальнейшем мы воспользуемся следующим правилом суммирования, принятым в тензорном анализе: будем опускать знак суммы, подразумевая суммирование во всех тех случаях, когда в данном выражении встречаются два одинаковых индекса. В соответствии с этим правилом, равенства (1.1) загаш1утх:ятак: = аЛ.

Тензором II ранга в трехмерном пространстве называется девятиком-понентная величина Tik {г, к = 1,2,3), преобразующаяся при поворотах координатной системы следующим образом:

T-k = auakmTim (1.2)

(сумма по I, т). Аналогично тензор s-ro ранга в пространстве трех измерений определяется законом преобразования:

. . . г = И Olkk • CKrrTikl ...г- (1-3)

В этом равенстве величины Т имеют по s индексов.

(«11 «12 «13" «21 «22 «23 «31 «32 «33/

(1.4)

называется матрицей преобразования. Определитель, элементы которого совпадают с элементами некоторой матрицы, называется определителем этой матрицы:

«11 «12 «13 Й = «21 «22 «23 • (1.5)

«31 «32 «33

Суммой двух матриц а + 0 называется такая матрица 7, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц-слагаемых:

Ък = агк+0гк- (1.6)

Произведением двух матриц Sp называется такая матрица 7, элементы которой получаются из элементов перемножаемых матриц а» и по правилу:

1гк = auPik (1.7)

(суммирование по I). Матрица 7 описывает такое преобразование, которое получается при последовательном выполнении преобразования сначала с матрицей 0, а затем с матрицей а.

Единичной матрицей называется матрица вида

/1 О 0>

Т = 0 10 1. (1.8)

Мы не делаем различия между ковариантными и контравариантными компонентами векторов и тензоров (см., например, [107]), так как оно несущественно дпя вопросов, рассматриваемых в этой книге.

Величины, преобразующиеся как вектор при поворотах координатной системы, могут двояко вести себя при инверсии системы координат (преобразование х = -X, у = -у, z = -z). Те векторы, компоненты которых при инверсии координат меняют знак, называются полярными векторами, или просто векторами. Векторы, компоненты которых не меняют знака при инверсии системы координат, называются псевдовекторами, или аксиальными векторами. Примером аксиального вектора может служить векторное произведение двух полярных векторов. Аналогично тензор s-ro ранга называется просто тензором, если его компоненты преобразуются при инверсии как произведения s координат, т. е. умножаются на (-1)*, и псевдотензором, если его компоненты умножаются на (-1)*".

Таблица коэффициентов преобразования

при iy к.

Матрица вида

называется диагональной матрицей.

Если элементы матрицы удовлетворяют условиям

OtikOtU = hl, (1.11)

то она называется ортогональной.

Матрица а~, удовлетворяющая условиям

адг =оГа = 1, (1.12)

называется обратной матрице а. Она описывает обратное преобразование, т.е. если Л< = onkAk, тоАк= (\1А[.

Матрица а, которая получается из а заменой строк на столбцы, называется транспонированной:

/«11 «21 asiN

«12 «22 «32 \«13 «23 «33/

«ifc = «fci. (1.13)

1. Два направления п и п определяются в сферической системе координат углами , а и а. Найти косинус угла в между ними.

2. Доказать тождества:

а) (А X В) • (С X D) = (А • С)(В • D) - (А • D)(B • С);

б) (А X В) X (С X D) = [А • (В X D)]C - [А • (В х C)]D =

= [А • (С X D)]B - [В • (С X D)]A.

3. Во всех декартовых системах координат задана совокупность трех величин а» (г = 1,2,3) и известно, что афг = inv относительно поворотов и отражений. Доказать, что если bi - произвольный вектор (псевдовектор), то а» - также вектор (псевдовектор).

Она описывает тождественное преобразование (Л< = Аг). Элементы единичной матрицы обозначаются символом 6ik: