Главная страница  Электростатика проводников 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [ 19 ] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

Тогда блоховская функция (5.6) может быть записана в форме

Pk{r) = <kn exp(i(fc + С„) г). (5.27)

Это представление волновой функции электрона в периодическом поле является особенно важным при расчете электронных состояний. Отметим кратко некоторые свойства обратной решетки:

1. Каждый вектор обратной решетки G ортогоналеи некоторой плоскости, образованной атомами прямой решетки.

2. Длина вектора G обратно пропорциональна расстоянию между соответствуюи1;ими атомными плоскостями.

3. Объем Wo6 обратной ячейки обратно пропорционален объему w„ ячейки прямой решетки:

«об = iF- (5.28)

5.1.5. Зоны Бриллюэна

В обратном пространстве удобно выбрать элементарную ячейку аналогично ячейке Вигнера-Зейтца в прямой решетке. Эта ячейка называется первой зоной Бриллюэна и содержит те точки обратного пространства, которые находятся ближе к центру ячейки, чем к любой другой точке. Обратными векторами G здесь будут являться вектора, соединяющие два любых узла обратной решетки. Отсюда хорошо видно, что если состояние электрона определяется волновым вектором к, то другое состояние электрона к = к + G будет ему эквивалентно. Действительно, так как

gifciJ ik-R ik-RiGR ik-R

что справедливо для любого вектора R прямой решетки. Следовательно, волновые функции, описывающие состояния кик должны быть тождественны. Итак, для всех точек, лежаш;их вне зоны Бриллюэна всегда найдутся эквивалентные им точки внутри зоны Бриллюэна, а каждой точке на поверхности зоны Бриллюэна найдется эквивалентная точка, лежащая также на поверхности зоны. Иначе говоря, любую точку к в обратном про-страистве можно привести к соответствующей точке в первой зоне Бриллюэна. Это значит, что любую волновую функцию можно описать в схеме приведенных зон, так же как и в схеме расширенных зон. Важным выводом



этих рассуждений является утверждение, что все состояния электронов в периодическом поле решетки характеризуются значениями волнового вектора к, лежащими внутри или на поверхности первой зоны Бриллюэна. Отсюда следует, что энергия электронных состояний будет многозначной функцией волнового вектора к. Непосредственно мы убедимся в этом, рассматривая энергетический спектр электрона, движущегося в периодическом поле решетки.

5.1.6. Число электронных состояний в зоне Бриллюэна

Подсчет разрешенных электронных состояний, т. е. значений волнового вектора к, в кристалле можно осуществить, присоединяя циклические граничные условия Борна-Кармана. Мы уже дважды использовали эти условия при подсчете электронных состояний в модели свободных электронов и при доказательстве теоремы Блоха. Сейчас мы обсудим этот вопрос несколько подробнее. Дело в том, что рассмотрение бесконечных кристаллических структур требует бесконечного ряда волновых функций. Однако, можно избежать этой трудности, используя трансляционную симметрию кристаллической решетки. Суть процедуры заключается в следующем: Формально кристалл можно разбить на ряд микрокристаллов, содержащих конечное число элементарных ячеек, например N ячеек, в каждом из трех пространственных направлений. Потребуем, чтобы при этом удовлетворялись граничные условия:

k{r + Na) = k{r). (5.29)

Принятое деление, естественно, носит произвольный характер. Однако, отметим, что оно и необходимо нам как математический прием с тем, чтобы получить обозримый объект, впоследствии же можно перейти к пределу, устремляя число N к бесконечности. Сами граничные условия Борна-Кармана (5.29) наглядно можно осуществить в одномерном случае, беря замкнутую кристаллическую цепочку. Трехмерный вариант этих условий реально представить уже невозможно, но это не должно вызывать каких-либо сомнений, поскольку эти граничные условия не вносят никаких изменений в рассматриваемую физическую картину.

Используя эти граничные условия (5.29) в одномерном случае при доказательстве теоремы Блоха, мы получили для разрешенных значений волнового числа выражение (5.14):



где Z = 1, 2, ..., N. Однако, выбирая обратную ячейку в виде зоны Бриллюэна, т. е. в одномерном случае в виде центрированного отрезка, необходимо взять для изменения величины z интервал

-In<z<N. (5.31)

Это значит, что мы из многих возможных эквивалентных вариантов выбора обратной ячейки выбрали центрированную ячейку, т. е. первую зону Бриллюэна. Таким образом, все возможные значения волнового числа к в приведенной схеме зон Бриллюэна заключены в интервале

-I < fc < . (5.32)

Придавая величине z значения на отрезке (5.31), можно получить набор всех возможных величин к, лежащих в интервале (5.32). Значения к распределены в этом интервале с постоянной плотностью и, поскольку величина N очень велика, то можно сказать, что непрерывно. Эти результаты можно непосредственно перенести на трехмерный случай, считая, что выбранный макрокристалл имеет размеры iVi ai, N202, N3 щ и для каждого из пространственных направлений выполняются, подобно (5.8), циклические условия. Выполнение их требует справедливости для трех составляющих fci, к2, ks по осям обратного пространства вектора к необходимых условий:

2t:zi 2kz2 , . 2t:z3

h = Jb,, k2 = jb2, h = jbs,

здесь bi = есть, согласно представлению (5.22), базис обратного пространства. Таким образом, получаем, что значения вектора к определяются выражением

Набор всех возможных значений волнового вектора к можно найти, беря величины Zi из области

iVi N1 N2 N2 N3 N3

-<z,<, -<Z2<, -f <.3<f. (5.34)

Эта область представляет собой параллелепипед с центром в начале координат. Поскольку эта область эквивалентна объему первой зоны Бриллюэна, которую мы выбрали за основную ячейку обратной решетки, то и в




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [ 19 ] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

0.0337