Разложим vj. на две составляющие - скорость vq = в однородном

VJ. = V0 + VI.

в поправочном члене уравнения (3) можно заменить величины vj. и г на vq и Го. Учитывая, что

=v.xa (4)

получим для Vl уравнение dvi

= [vi+vo(ro-Vff)]xn. (5)

Усредним обе части этого уравнения по периоду вращения частицы. При усреднении производной dwi/dt получим

dvi vi(t + r)-vi(r) dt Г ~

с точностью до членов первого порядка по малой величине VH. Усредняя правую часть, найдем

Vd = vT = -vo(ro • УЯ). (6)

Величины Vq и Го соответствуют движению частицы в однородном поле и могут быть получены из уравнения (4). Их можно выбрать в виде

Го = (ei sin Ш + ег cos Ш), vo = uj.ro х h, (7)

где ei и ег - орты, перпендикулярные h и друг другу. Проведя усреднение, получим формулу, приведенную в условии задачи.

846. Адиабатическим инвариантом для релятивистской частицы является величина 7 , где 7 = fx = p±v±/2H - магнитный момент.

Если кинетическая энергия частицы сохраняется, то 7 = const и = const. Последнее соотнощение выполняется для нерелятивистской частицы, у которой 7 W 1, и в том случае, когда ее энергия не сохраняется.

847. F = -и, WH, где и, = jh - магнитный момент, созда-

ваемый вращением частицы. Это выражение совпадает с правой частью уравнения (XIV.2), если в ней положить Б = О, так как из уравнения Максвелла div Н = О следует Н div h = -h • УЯ.

. на две с поле и малую добавку vi:

850. г = гоу/Но/Н,

где Го - расстояние ведущего центра до оси ловушки в поле Яо, г - расстояние после изменения поля до величины Я. Возрастание поля вызывает сжатие плазмы к оси ловушки.

851. Ведущш! центр перейдет на силовую линию г = l,ip=-т.

852. Ведущий центр протона движется равномерно по окружности радиуса г = 2г» лежащей в плоскости экватора, с угловой скоростью

где 7 - гравитационная постоянная; R > 226 км, Т w 14,9 сек.

853. а) Из уравнения (XIV. 1), вычисляя произведения [h х УЯ] и [h X (h • V)h] для поля магнитного диполя, находим, что движение поперек магнитных силовых линий сводится к азимутальному дрейфу, при котором расстояние до центра Земли и широтный угол не меняются. Кроме того, ведущий центр движется вдоль силовой линии, уравнение которой имеет вид

г = Го cos А, (1)

где Го расстояние в экваториальной плоскости от силовой линии до центра. При этом энергия частицы остается постоянной вследствие пренебрежения гравитационным полем.

Используя известные выражения для напряженности поля магнитного диполя, а также уравнения (XIV. 1), (1) и (XIV.S), находим угловую скорость азимутального дрейфа.

(vd)a Зсртго sin а 1 + sin А

ujd = -- = -

2ем cos3A(3sin2A + l)

cpvro cos А(3 sin А - 1) (3sin2A + l)2

Здесь риь - импульс и скорость протона.

848. sin. > у/Н/Н.

849. R = l-H/Hm.

А = 1п

Im ,

При Sm 00, ЧТО соответствует неограниченному пучку, величина А расходится. Этот результат обьясняется дальнодействующим характером ку-лоновых сил, в результате чего с неподвижной частицей взаимодействуют

б) С помощью уравнения (XIV.5) находим условие, определяющее Am > 0;

COSAm . 2

, „ -= sm а.

VSsinAm-bl

Частицы движутся в области -Am < А < Am-

в) Протон достигает поверхности Земли при условии

roCOS Am < г.,

где г» - радиус земного щара.

854. Через площадку da = sds da плоскости, перпендикулярной направлению движения частиц, проходит за единицу времени nv da частиц. Они передают неподвижной частице импульс, равный

mAvzTiv da, (1)

где Avz изменение 2;-компоненты скорости одной частицы при рассеянии ее на неподвижной частице.

Искомая сила, равная полному импульсу, передаваемому за единицу времени, получится интегрированием (1) по всему сечению пучка частиц. При этом нужно вьфазшъ Avz через прицельный параметр s. Поскольку столкновения ухфугие, имеем

Avz = -2vsm, (2)

в - угол рассеяния. Его связь с прицельным параметром s была найдена при рещении задачи 713:

= 4ctg2f. (3)

После подстановки (2), (3) в (1) и интегрирования по а получим выражение для силы:

F=ee4X, (4)