Формулы (2) и (3) показывают, что плотность заряда и плотность тока, создаваемые движущейся частицей, эквивалентны набору гармонических осцилляторов, распределенных в пространстве по закону

е "5{х)5{у) пригО,

21ГШ

ге .»-г L 2iru>

S{x)S{y) npHz<0.

Наличие S{x)S{y) в (4) означает, что фактически осцилляторы находятся только на линии движения заряда.

Осцилляторы, находящиеся на отрезке dz, создадут в точке М волновой зоны магнитное поле (см. рис. 132):

dH = -ф(Pu, X R) = --Рш sint?e„ dz. (5)

Интегрируя (5) no z, получим полное поле:

тт ieu> f e ""~27гс4У

i(z+kR) . . У -i(z-kR) . .

В последнем вьфажении интегралы берутся от произведения убывающей и осциллирующей функций, поэтому основной вклад в них даст область вблизи z = 0. Это обьясняется тем, что излучение имеет место при переходе из вакуума в металл. Вычислим интегралы приближенно, для чего положим в показателях экспонент R = i- z cos в. Выражая sin i? через R, получим

iewe**"r sin

27гс2

О ш

iil-0CO8e)z

dz +

° -г(1+/Зсо8е)г

dz

Интегрированием по частям можно представить эти интегралы в виде рядов по степеням 1/R; оставляя только члены, линейные по этому параметру, получим

еш 2жг

(l-;3cos0) (l + ;3cos0)J

sine*

Второй член в этом выражении описывает поле излучения, возникающего при внезапной остановке заряда, а первый член - излучение, создаваемое

Интенсивность излучения растет логарифмически с ростом энергии.

В нерелятивистском пределе выражение в скобках обращается в единицу:

7(0,) = (10)

841. Компонента Фурье вектора поляризации имеет вид

= -2;""()()-

Определим сначала поле в точке А от осцилляторов, находящихся в области Z > О (рис. 133). Достаточно рассмотреть осцилляторы, лежащие вблизи

изображением. Интенсивность излучения с частотой ш в телесный угол (Ю. определяем по формуле

(.,.)=cM„,.)V.n = g.e. (7)

В нерелятивистском пределе (/3 < 1) формула (7) дает дипольное излучение:

dl{w,e) = sme<m, (8)

ж (Г

интенсивность которого пропорциональна квадрату скорости частицы. Отметим, что интенсивность излучения не зависит от массы частицы.

Интегралы от (7) и (8) по to, дающие угловое распределение полного излучения (со всеми частотами), будут расходящимися. Это обусловлено тем, что металл считался идеально проводящим. В действительности, уже в инфракрасной области спектра металл нельзя считать идеально проводящим, так что при высоких частотах результаты (7) и (8) неверны.

Спектральное распределение полного излучения получится интегрированием (7) по верхней полусфере:

в ультрарелятивистском пределе, когда полная энергия частицы 8 много больше энергии покоя тс?, формула (9) дает

1{ш) = Ъ.

Рис. 133

и направлены вдоль z, а расстояние между ними велико по сравнению с длиной волны. Осщшлятор Рв создает в точке А поле, амплитуда Е+ которого составляет с осью z угол, приближенно равный - (см. рис. 133). Волны

т Ав В приходят двумя путями: непосредственно и после отражения от грашщы диэлектрика. Соответствующие амплитуды обозначены на рисунке через Е и Е". Они составляют с Oz такие же углы - i? w - 0.

Поэтому по теореме взаимности имеем Е+ = Е -Ь Е" или, учитывая, что в волновой зоне осщшлятора Н = п х Е, получаем Н+ = -Н - Н" (все три вектора Н+, Н, Н" перпендикулярны плоскости AOz). Волна, приходящая кз Ав В непосредственно, создает поле

dH = -PsmOdz.

точки Z = 0, так как только они создают поле излучения (см. предыдущую задачу).

При использовании теоремы взаимности выберем осщшлятор рв на оси Z вблизи z = 0 (точка В), а осщшлятор рл в точке А, поле в которой мы должны определить. Пусть оба они одинаковы по абсолютной величине