s*aKi{s*a)Ko{sa)xdx =

£о - х

= ---i5-о(-о-Ji(-о-j- (3)

Теперь вычислим интеграл по области, в которой s чисто мнимо. Для этого заметим, что при чисто мнимом аргументе цилиндрические функции Ко и Ki связаны зависимостью

s*aKi(s*a)Ko{sa) - saKi{sa)Ko(s*a) = г,

которая следует из свойств вронскиана системы решений уравнения Бесселя (см. [68], § 5.9). Поэтому

Еег j [--0y*aKi{s*a)Ko{sa)xdx =

£0

в2<0

в2<0

Последний интеграл вычисляется элементарными методами. Пределы интегрирования выбираются так, как указано выше.

Подставляя (3) и (4) в (1), получим при v <

d8 2жеМ dl mv

и при v>

.КорЩ) --lп(l-)

dl 2кeN dl mv

2ао /ашо,/ё\ /аа;о\/ёо\ -V--"-Ч-V-)[-V-)-

£0-1 £0-1

радиуса в верхней полуплоскости. Используем второй способ. Обозначив интегрирование по указанной полуокружности значком получим

839.

dl « 1.

шой скорости частицы, то можно использовать приближенные формулы

Если параметр <С 1, что имеет место при достаточно боль-

Та часть полных потерь, которая не исчезает при а оо (члены, не содержащие а в (5) и (6)), представляет собой потери энергии на излучение поперечных волн (эффект Вавилова-Черепкова):

-(f) --в-ч = (-+1п) при v>. \Л/в-ч " V £0-1 £0-1/ у/ё

(76)

Выражение (76) было получено в задаче 828.

Члены с iifo. 1 в (5) и (6), зависящие от а, возникли в результате обхода

полюса в точке ш = П = yJ<VQ+ ш, в которой е обращается в нуль. Но

при таких частотах возбуждаются продольные колебания (см. задачу 443), поэтому выражение

описывает потери на возбуждение продольных колебаний (поляризащюн-ные потери). При <С 1 формула (8) принимает простой вид (см. П3.6):

-(f). =

При » 1 величина -(Щ-] становится очень малой (она пропорщю-

\ ей /пол V

нальна е " 1. Это показывает, что влияние поляризации среды при малых скоростях мало.

Изложенный в этой задаче макроскопический метод расчета потерь принадлежит Ферми (1940 г.).

для Кп (П3.6). При этом (1) переходит в

2v lujpa

Как следует из формул (1), (2), потери частицы существенно зависят от величины Шр. Она представляет собою частоту продольных плазменных колебаний (см. задачу 443).

Излучения Вавилова-Черепкова в плазме не возникает, так как при всех частотах е{ш) < 1 и условие излучения (Зе 1 не выполняется (но черепковское излучение становится возможным, если плазма находится в магнитном поле).

При квантовомеханическом рассмотрении возбуждение плазменных колебаний эквивалентно возникновению некоторых дискретных элементарных возбуждений (квазичастиц - «плазмонов»). Энергия каждого плазмона равна Ншр, где fi = 1,05 • 10~ эрг • сек - постоянная Планка. Для металлов величина fkjp лежит в пределах от 5 до 30 эв. Таким образом, при возбуждении плазменных колебаний частица теряет энергию дискретными порциями. Изучение этих дискретных (или характеристических) потерь энергии позволяет получать ценные сведения о свойствах твердых тел.

Рис. 132

840. Разложим плотность тока (рис. 132):

- evS{z - vt)S{x)S{y) при evS{z + vt)S{x)S{y) при z 0

J = ji. = I в интеграл Фурье по времени:

dt, ju, = •

.e vs{x)S{y) при zO,

--e4{x)5{y) при zO.

Введем вектор поляризации согласно (XII.9):

Вектор направлен по оси z.