ife, (z-vt) 27Г .„ k± {Z - Vt)

akz =--. sin

kl-ki0n-l) JfcvW vW

Интегралпоа выражается через функцию Бесселя Jo(A;j. г) (см.ПЗ.П). Последний интеграл по к± вычислим с помощью формулы (6.671, 7), приведенной в справочнике [90]. Таким образом, при Рп> 1 имеем:

, - при Z <vt- r\Jev? - 1,

<(R,f) = \ e{z - vtf - г2(2п2 - 1)

0 в остальном пространстве.

Векторный потенциал А получается умножением у? на

Формула (2) показывает, что при выполнении условия Вавилова-Черепкова 0п> \ поле является разрывным. Оно существует только внутри конуса, поверхность которого описывается уравнением

z-vb + ryjffn -1 = 0. (3)

Нормаль к поверхности конуса составляет с направлением движения частицы угол Q = axccos-. Как следует из (3), коническая волна распространяется вдоль оси z со скоростью частицы.

Рассмотренную структуру могут иметь не только электромагнитные волны, но и волны другой природы. Например, разрывные акустические волны указанного типа возбуждаются снарядом, движущимся в воздухе со скоростью, большей скорости звука (ударная баллистическая волна). Тот же характер имеют волны, образованные на поверхности воды достаточно быстро движущимся судном.

834. Излучение Вавилова-Черенкова происходит при условии 0п > 1, где п{ш) = y/e{(j})p{(jS); векторный потенциал имеет вид:

e-x.pi%{y-vt+lPn--l\z\) f()ciu 2J2 г р{ш) dw

tB-H =

/Зп>1

в верхней полуплоскости, интеграл по kz в этом случае будет равен нулю. При Z <vt замыкаем контур интегрирования в нижней полуплоскости. Вклад в интеграл дают оба полюса, в результате интегрирования получим:

835* сав-ч - -2

Г (1-) (licoslwdw. Знак плюс соответ-

ствует случаю а), минус - случаю б). Спекгральная плотность излучения двух одинаковых зарядов отличается от спектральной плотности излучения

одного заряда множителем 2 1 -bcos . Поэтому интенсивность гармоник

с частотами

ш=п (п = 0,1,2,...)

возрастает в 4 раза, а гармоники с частотами

= М(2п + 1)

исчезнут. При различных по знаку зарядах картина станет обратной. Для перехода к случаю точечного диполя, ориентированного по направлению

движения, нужно разложить 1 - cos в ряд, считая аргумент косинуса

малым. Это даст

/Зп>1

где р - электрический момент диполя, измеренный в лабораторной системе. 836. ш ц = 4 1 (l--)\cosa + Umail3n-l)\ij(L;,

с V /Зп>1 Р П / L J

где п = л/е, р - электрический дипольный момент в лабораторной системе отсчета.

838. Потери энергии на единицу пути выражаются интегралом по времени от потока энергии через цилиндрическую поверхность единичной длины и радиуса а, окружающую траекторию частицы. Для вычисления

Тормозящая сила вычисляется по формуле f = (j х В), где В должно быть взято в точке z = О, у = vt. Сила приложена в направлении, обратном оси у, и по абсолютной величине равна потере энергии на единице пути: Fy = -в-ч- Этот результат прямо вытекает из закона сохранения энергии.

2е

dl 7ги2

Rei jQ ~ - /3y*aKiis*a)Koisa)xdx, (1)

где ж = j, е(0) = ео = 1 + - - статическое значение диэлектрической проницаемости.

Как следует из формулы (1), в потери вносит вклад только мнимая часть интеграла. Функции К{пК\- вешественны при вешественном аргументе, поэтому интереооошая нас мнимая часть интеграла будет определяться только той областью изменения х, в которой s будет комплексным. Эта область, как видно из (2), зависит от знака и величины параметра Ь.

Если 6 > О это означает, что v < то s будет чисто мнимым при

значениях х в интервале (\/б, 1) и вешественным вне этого интервала. Если 6 < О этому соответствует v > . то s будет мнимым при О ж 1

и вешественным при х > 1.

Кроме указанных интервалов изменения х, вклад в мнимую часть интеграла будут давать отдельные точки, в которых знаменатель подынтегрального выражения ео - х обрашается в нуль: х = ±у/ёо- Поскольку интегрирование в (1) ведется по значениям х > О, нужно рассмотреть один полюс X = у/ёо > 1. Если пренебречь потерями, то этот полюс окажется на вешественной оси. При учете потерь, как легко видеть из явного выражения е{ш) (см. (VI. 12), он переместится в нижнюю полуплоскость комплексной переменной шУ. Чтобы получить правильное значение интеграла, нужно или ввести параметр затухания и после вычисления интеграла устремить этот параметр к нулю, или слегка деформировать путь интегрирования, произведя обход вокруг полюса по окружности бесконечно малого

Это находится в соответствии с общей теоремой о том, что е{ш) не имеет нулей в верхней полуплоскости (см. [66], § 62).

потерь можно воспользоваться формулой (9), полученной при решении задачи 827, если в этой формуле взять значения полей при г = а и вести интегрирование по всем частотам от О до оо. Используя выражения компонент поля, найденные в задаче 826, и указанный в условии данной задачи конкретный вид функции е{ш), получим