выполнение условий п" > О при ш > О и п" < О при ш < 0. Считая п" весьма малым, можем записать

Отсюда следует, что условие Res > О будет выполняться, если выбрать в (4) знак минус. Устремив после этого п" к нулю, получим

5 = -zvW- (5)

Но такой знак как раз соответствует расходящимся волнам, так как экспонешщальный множитель в выражениях (1) примет вид

ехрг{к • R - wt) = ехрi[k{zсовв + г siad) - ujt], (6)

где к = п, созв = siad = . 1--ксозв = к, = к\\ и fcsin =

= к± - компоненты волнового вектора.

Таким образом, при выполнении условия Рп{ш) > 1 частица, движущаяся в дюлектрике с постоянной скоростью v = (Зс, излучает электромагнитные волны с частотой ш (излучение Вавилова-Черепкова). Условие (Зп> 1 означает, что скорость частицы должна превосходить фазовую скорость волны с частотой ш в данной среде. Как следует из выражения для волнового вектора к, излучение направлено под углом в к скорости частицы, причем

С08в=-. (7)

Эта характерная направленность излучения является следствием когерентности волн, испускаемых частицей в разных точках ее траектории (см. задачу 829).

Фазовая скорость волн Вавилова-Черепкова

<р - с - п

- такая же, как у всех поперечных электромагнитных волн. Поляризацию излучения легко определить из формул (1): вектор Н направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через траекторию частицы и волновой вектор к, а вектор Е лежит в указанной плоскости (и перпендикулярен к в волновой зоне). В перпендикулярности к и Е можно убедиться, вычислив скалярное произведение к • Е.

Полная энергия черенковского излучения в-ц на единице пути равна интегралу по времени от потока вектора Пойнтинга через бесконечно удаленную цилиндрическую поверхность единичной длины, окружающую траекторию частицы:

оо оо

Wb 4 = 27ГГ У" (Е X Н)г dt = -f j HEz dt. (8)

-oo -oo

Используя формулу, приведенную на стр. 572, можно представить (8) в виде

Wb-ч =-27гсгКй j HZEzdjJ, (9)

/Зп(ы)>1

где монохроматические компоненты Н, Е должны быть взяты в волновой зоне, а интегрирование ведется по области частот, в которой выполняется условие излучения /Зп{ш) > 1. С помощью формул (1)-(3) находим окончательно:

-в-ч = § / (l-)-- (10)

/Зп(ы)>1

828. шв-ч = щ-{0 - 1) + щ-{ео - 1)1п-. При указанных

2v 2v £о - 1

в условии задачи значениях параметров шв-ч « 5000эв/см. Излучение сконцентрировано в интервале углов

fieocoseo = 1.

829. Каждую точку траектории можно рассматривать как источник элементарного возбуждения, распространяющегося в виде сферической волны со скоростью = (рис. 131). Фронт результирующей волны представляет собой огибающую элементарных сферических волн. Нормаль к фронту составляет с траекторией угол в, причем, как следует из рисунка, COS0 =

830. Поле равномерно движущейся заряженной частицы представляет собой суперпозицию плоских волн с частотами ш = к • v, где v - скорость частицы, к - волновой вектор (см. задачу 810). В неограниченном

диэлектрике возможны колебания с ча-

охотами (jj = где n - показатель преломления среды (собственные колебания среды). Из условия резонанса

=k-v = tocos0

следует, что cos 0 = . Так как cos в1,

то > 1, а это и есть условие существования излучения Вавилова-Черепкова.

831. г=I tg2 0, / = . ctg2 в, где cos в = ц - энергия черепковского излучения на единице длины,

вычисленная в задаче 827.

Рис. 131

833. При j3n<l (т. е. при v < v)

e{z-vt) + r{l-(3n)

Это выражение получается таким же путем, как в задаче 811.

При (Зп > 1 метод, примененный в задаче 811, не может быть использован, так как подынтегральное выражение в этом случае будет иметь

1.2 (k-v) полюс при к = ец--.

Введя в пространстве к цилиндрические координаты, запишем <р в виде Для вычисления интеграла по к воспользуемся теоремой о вычетах. Зна-

менатель имеет нули в точках fca = ±-

z\ чтобы выяснить правило

V/32n2 - 1

обхода этих полюсов, допустим, что п имеет малую мнимую часть п" > О при kz > О, п" < О при kz < О (см. аналогичный анализ в задаче 827; в данном случае знак ш совпадает со знаком kz, так как ш = к • v). Поэтому оба нуля будут смещены в нижнюю полуплоскость комплексной переменной kz. При Z > vt нужно замкнуть контур интегрирования дугой бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости (на этой дуге подынтегральная функция обращается в нуль). Так как знаменатель не имеет нулей