е{уг-е)

-оо и

X ехр ix[r sin в cos(Ф - ip) - z cos в]6{/Зхсо8 в - 1) sin в d9 dФ. (3)

Здесь через г обозначена составляющая R в плоскости ху, ip - угол между г и осью X, /3 = иФ - полярные углы п.

Интеграл по Ф выражается через функцию Бесселя Joytrsiad

(см. ПЗ.П).

Интеграл по в имеет вид:

JmSifiytcose -l)smed9= J v{y)5{y - 1) dy. (4)

0 -/3x

Oh отличен от нуля только в случае, если 0yt 1, поэтому нижний предел изменения у< равен 1 3. В формуле (3) это учитывается автоматически, вследствие наличия J-функции, но после интегрирования по у J-функция исчезнет, и нужно будет учесть нижний предел интегрирования в явном виде.

Интегрируя (4) по у, получим

Подставим (5) в (3) и введем вместо уе переменную х = уе -

поскольку yt меняется в пределах от 1 3 до оо, х будет меняться от О до оо. Тогда Ez{R.,t) запишется в виде:

7 л, 14 7Ju{4rx)xdx

Для определения полей нужно произвести обратное преобразование Фурье. Начнем с вычисления Ez(R, t). Как следует из (2):

8г{Кш) = -if . "7~f(COsg-l),

поэтому

оо оо

хсозв - 0е

где обозначено s = - е(с<;). Знак s нужно выбирать так, что-

V сг

бы Re S > О, в противном случае интеграл по ш оказывается расходящимся. Интегрирование по ш в (6) можно провести, только задавшись конкретным видом функции (ш).

При вычислении £x(R-, также начинаем с интегрирования по Ф.

Интегрирование по в выполняется с помощью 5-функции. При последующем интегрировании по ж = - нужно воспользоваться формулой

2 + jfc2

которая получается из (П3.16) дифференцированием по г, если учесть, что = -Ji, К(, = -Кг. В результате находим

£;.(R,t)=cos< J firi(sr)e"(-*) du.

Компоненты Ey{R,t) и H(R,t) определяются таким же путем. Еу отличается от Ех заменой cos ip на sin ip; поэтому в цилиндрических координатах имеем

Er(R,t) = : I 1Кг{зг)е"-- dw, Е = 0. (7)

Для Н получим

H{Ti,t) = j s7ri(5r)e"(-*) da;, Я, = Я, = 0. (8)

Как следует из формул (6)-(8), электромагнитное поле обладает аксиальной симметрией.

Формула (П3.16) позволяет провести интегрирование по х:

« = ±f У J2 - = ггуб (4)

и выясним, какой знак нужно выбрать перед корнем. Для этого нужно принять во внимание, что рассматриваемый диэлектрик без потерь является предельным случаем слабо поглощающего диэлектрика с комплексным показателем преломления п = п + in". Чтобы мнимая часть показателя преломления п" действительно описывала поглощение энергии (т. е. чтобы амплитуда соответствующей волны затухала, а не возрастала), требуется

Полученные формулы справедливы только в области г » а, где а - величина порядка межатомных расстояний. В области г а необходимо учитывать пространственную дисперсию диэлектрической проницаемости.

827. Как следует из формул (6)-(8) предыдущей задачи, монохроматические компоненты полей E(R,t) и H(R,t) имеют вид:

E..{,t) = щ(1- )ir„(,,)e4f-*) ..., (1)

пС V /б-е/

=-ф) Res>0, (2)

а.Кп - модифицированные функции Бесселя.

В волновой зоне \sr\ > 1, вследствие чего можно использовать асимптотическое выражение (II3.8) для функций Кп.

Knisr) = Уе-. (3)

Из (2) следует, что при вещественном е{и}) s будет вещественным, если > е{ш) или 0п{ш) < 1 {п{ш) - показатель преломления для волн

с частотой ш). При /Зп{ш) > 1 s будет чисто мнимым.

Если S - вещественная величина (в силу (2), при этом s > 0), то в волновой зоне поле будет затухать экспоненциально, излучения не происходит. При чисто мнимом S амплитуда полей в волновой зоне будет меняться как 1/\/г, что соответствует цилиндрическим волнам. Покажем, что эти волны будут расходящимися, т. е. в этом случае действительно будет происходить излучение.

Запшием s в виде