отдельных «осцилляторов поля». Энергию поля (6) можно выразить непосредственно через коэффициенты ах, используя выражение (3):

W = 2 У"5а;акл4л(йк).

Аналогичным образом получаем для импульса поля выражение:

=4/(*)=8/(* + *)(*) =

= I / Е - 9кл9кл)(сЯс). (9)

Рассмотренные в этой задаче осцилляторные координаты qkx аналогичны координатам, описывающим нормальные колебания механической системы (главное отличие от механики состоит в том, что поле представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы). Эта аналогия позволяет применять формальные методы квантовой механики к рещению задач квантовой электродинамики.

818.

А(г, t) =f Yekx \Qkx{t) cos к • г - Qkx{t) sin к • г] (dk),

Е(г, t) =--Ц / ekA [QkA cos к • г -I- wQkA sin к • г] (dk),

H(r, t) =--Ц / V(k X ekA) [QkA sin к • г + QkA cos к • г] (dk).

При выводе выражения для Е(г, t) мы использовали то обстоятельство, что координаты QkA удовлетворяют уравнению

QkA + wQkA = 0.

Выражение энергии поля проще всего получить из формулы (8) предыдущей задачи, выразив входящие в нее коэффициенты акА и аЦд через QkA и QkA

йкА = iQkAe-* + £Qixe"\

Отсюда

4A=QkAe-*-2QkAe-*.

= E/(QkA + QL)(dk).

Из последней формулы видно, что энергия свободного электромагнитного поля представляется в виде суммы энергий осцилляторов поля, имеющих в точности такой же вид, как в случае механической колебательной системы:

W = I X]WkA(dk), (9)

welkA = i(QL + QL)-

Вычисление импульса поля G дает:

Импульс отдельного осциллятора GkA связан с его энергией формулой

кИкА /щч

GkA = -. (10)

Такой же формулой выражается связь энергии с импульсом в случае частиц, движущихся со скоростью света в направлении к (фотоны!).

819. Записав уравнения, приведенные в решении задачи 807, и умножая их на ej, получим для поперечной части потенциала Ak(i):

qkx{t) + i(Ыx{t)=F,x{t), (1)

kA(t) = [e£A-v(i)]e-*-W, (2)

а ro(i) - радиус-вектор частицы в момент времени f, v - ее скорость в этот же момент времени. В нерелятивистском случае

тго = F -Ь еЕ(го), (3)

где m - масса частицы, F - действующая на частицу сила неэлекгромаг-нитного происхождения,

Е(го) =-- / ekA9kAe*--4dk) (4)

- напряженность поля излучения в той точке, где находится частица. Мы не учитываем силу, действующую на частицу со стороны магнитного поля, так как предполагается, что v <с. Уравнение (1) представляет собой уравнение вынужденных колебаний осциллятора под действием внешней силы Fkx{t). Движение частицы и электромагнитного поля, взаимодействующих между собой, описывается системой уравнений (1), (3).

* ,2

dt ujI-uj[2 Wk-bwo

W.x = / di =

Шк 1 - cos(c<;k +ujo)t

Шк 1 - cos(a)k - o)t (VO 1 - cos2c<;ot 2 wk-wo 4

820. Изменение энергии одного осциллятора:

Скорость изменения энергии поля:

= У"№лйл + кл4кл)(сЯс).

821. Сила Fk\{t) в данном случае принимает вид

Fkx{t) = бкАСОвШо*,

Ькх = -(vq • екл), Vo = woro 7rv2

(для простоты рассматриваем линейно поляризованные осцилляторы поля, так что орты вкА - вещественны). Интегрируя уравнение (1) задачи 819, получаем

9кА = JcOSUJQt - COSWki),

w-wo

если в начальный момент времени f = О осцилляторы поля не были возбуждены. Это значение qx подставим в выражение для скорости изменения

энергии поля излучения , , найденное в задаче 820:

dWex bl. ,

--7-- = -z-т (wk COS ujQt sm uj\st - ujQ cos ujQt sm ujQt).

at o) - ujq

Интегрируя последнее выражение по t от О до t, получим количество энергии, переданное частицей за время t осциллятору поля (к, А):