27г2 е-ш/(?

812. Рассмотрим вычисление скалярного потенциала. Согласно уравнениям в) решения задачи 807

к. = , (. = м = 1).

" с

Компонента Фурье плотности заряда:

P = -(aJ\P- - ф---Нйг) dt =

= /[Р • grade-(-"*)]<J(r - vf)(dr)dt = -iSicu - к• v).

Дисперсионное уравнение ш = к • v имеет тот же вид, что и в случае поля равномерно движущегося точечного заряда (см. задачу 810). Поступая при вычислении (г, t) в соответствии с указанием к задаче 811, получим:

v(r,f) = -p-grad = H £o, (1)

где го = (ж - vt, , ),г* = {x-vtY + {y + z).

Аналогичные вычисления дают для векторного потенциала

А(М) = =; + . И

Во всех компонентах поля присутствует множитель 5{\а • v - ш), обязанный дисперсионному уравнению ш = к • v. Благодаря этому, все разложения Фурье электромагнитного поля в данном случае фактически являются не четырех, а трехмерными. Например, в случае потенциала р:

(к) -оо

Приравнивая поперечные части векторов, получим из уравнений Максвелла:

rotEi = -iH, rotH = iEi + ji,1 2)

divEj.=0, divH = 0. J

Продольная (безвихревая) часть электрического поля определяется уравнениями:

divE(r,t)=47rp(r,t),l

rotE(r,f)=0, J

имеющими вид уравнений электростатики. Время в них входит как параметр. Отсюда следует, что Ец - кулоново поле.

817. Согласно результатам задачи 8076,

дкА + WkkA = о, (1)

где Wk = кс.

Это уравнение линейного гармонического осциллятора. Его общее решение имеет вид:

9кл(*)=акле-Чбкле*.

Коэффициенты Окл и бкл связаны между собой соотношением, вытекающим из вещественности [A(r,t) = A*(r,t)]:

CkAflkA = elkA-kA. СкАкА = *-i,\a*-i,\-

Разложение электромагнитного поля на продольную и поперечную части используется в одном из вариантов квантовой электродинамики. При этом разложении поперечная часть поля квантуется - ей соответствуют частицы (фотоны), продольная часть поля не квантуется.

813.

а)А = И2, = 0; б)А==, = .

816. Разложим все векторы, входящие в уравнения Максвелла, на безвихревую и соленоидальную (или продольную и поперечную - см. задачу 815) части:

Е = Е+Е, j=j+j±n

H = Hi, Н=0. / >

Если выбрать орты, описывающие основные состояния поляризации волн с противоположными волновыми векторами к и -к так, что

екА = elkA. (2)

АкА = Ь-кА = а-кА 1

И \ (3)

9kA(t)=akAe-4alkAe"J Напряженности поля Е, Н выражаются через координаты 9кА(*):

H = rotA = -/kx ekA9kAe--(dk). (5)

Рассмотрим вычисление энергии электромагнитного поля W = j{E + H){dv). Так как Е, Н - вещественны, то можно написать:

= ЩТ."- ekA4kAAe(-)-(dr)(dk)(dk) =

= /Е9кАЙА(Йк).

Мы воспользовались ортогональностью ортов поляризации, принадлежащих одному и тому же к, но разным А: ej • ejj = О, а также формулой (П 1.15). Аналогичным образом вычисляется энергия магнитного поля. Для полной энергии электромагнитного поля получаем:

= i / Е(АЙА + cqxqDidk). (6)

Она складывается из энергий

WkA = к (4кА9кА + к9кА«кА) (7)