Отметим, что функция (рк{г), описывающая электрон в состоянии к, является собственной функцией оператора Блоха Н., и оператора трансляций Т. Из теоремы Блоха следует ряд важных следствий. Так, каждая волновая функция электрона в периодическом потенциальном поле характеризуется волновым вектором к. Блоховская волновая функция

имеет сходство с волновой функцией свободного электрона, т. е. с плоской волной:

Отличие, как хорошо видно, заключается только в модулирующем множителе. В связи с этим многие свойства электрона в периодическом поле аналогичны свойствам свободного электрона. Волновой вектор к вводится с точностью до вектора обратной решетки и потому состояния электрона с волновыми векторами к я к + G эквивалентны.

5.1.2. Точечная и трансляционная симметрия идеальной кристаллической структуры

Кристаллическая решетка представляет собой систему определенным образом расположенных в трехмерном пространстве точек, занимаемых ионами металла. Характерным элементом кристаллической решетки является элементарная ячейка, которая геометрически задается совокупностью трех некомпланарных векторов (в простейшем случае) Oj (г = 1, 2, 3). Если выбрать точку отсчета, то из нее можно построить любой узел решетки, используя элементы трансляций:

I = litti {г = 1, 2, 3), li - целые числа.

Таким образом, весь кристалл строится путем бесконечного повторения элементарных ячеек. Элементы трансляционной симметрии будут в основе многих последующих рассуждений.

5.1.3. Элементарная ячейка кристаллической структуры. Ячейка Вигнера-Зейтца

Для каждой кристаллической структуры существует некоторый произвол в определении формы элементарной ячейки. В связи с этим очень удобно использовать центрированные элементарные ячейки - ячейки Вигнера-

= {Ahj, (5.18)

где элементы матрицы являются прямоугольными проекциями составляющих ячейку векторов. Такой ячейке можно сопоставить другую ячейку, задаваемую обратной матрицей

(Bh = {А)7/- (5.19)

Поскольку {A)ij(B)ij = 1, то необходимо, чтобы

aijbij = Sij, (5.20)

Gi bj = Sij. (5.21)

Таким образом, векторы bj обратны векторам базиса а, и представляют собой базис обратной решетки. Так, если вектора X и Y определены как X = XiOi, Y = yibi, то X Y = XiHi.

Зейтца, которые, как будет видно далее, играют важную роль в электронной теории металлов. Такую ячейку можно построить согласно следующему правилу: из выбранного центрального узла проводим векторы к ближайшим узлам решетки и строим плоскости через середины этих векторов и перпендикулярно к ним. Возникаюи1;ая область с центральным узлом есть элементарная ячейка Вигнера-Зейтца. Если элементарная ячейка содержит один атом, то структуру называют решеткой Бравэ, в противном случае имеем решетку с базисом. Базисом определяется совокупность векторов, характеризуюш;их положение атомов ячейки относительно одного из них. Ячейка Вигнера-Зейтца обладает тем свойством, что все точки решетки, принадлежащие ячейке, находятся ближе к центру ячейки, чем к какому-нибудь другому узлу решетки. Удобство этой ячейки еш;е и в том, что она лучше всего аппроксимирует сферу, которую всегда приписывают атому в формальных моделях упаковки его в кристалле.

5.1.4. Обратная решетка

Элементарная ячейка считается заданной, если задана минимальная совокупность векторов, определяющих узлы ячейки относительно данного узла. В таком случае элементарную ячейку можно задать матрицей

= Р(* п-г). (5.26)

Определим вектор обратной решетки из набора:

G = ni27r6i+гг227гб2+ ггз27г6з, (5.22)

где rij - целые числа, в том числе отрицательные и нуль. Концы векторов G образуют обратную решетку. Множитель 2тт сразу введен в определение вектора обратной решетки для того, чтобы при разложении функции по векторам обратной решетки запись совпадала с принятым определением волновой функции свободного электрона

Если вектор R есть вектор трансляции прямой решетки

R = ziai + Z2CU2 + zo, аз,

то скалярное произведение G R равно

G R = 2KniZi = 2тгтг [г = 1, 2, 3). (5.23)

Введенная таким образом обратная решетка является инвариантным геометрическим объектом, свойства которого играют важную роль в теории металлов. Рассмотрим плоскую волну с вектором обратной решетки G:

exp(i G г) =/(G, г). (5.24)

Подействуем на эту функцию трансляционным оператором Тд:

Гд/(С, г) = f{G, r + R) = exp(i С-(г + Д)) = exp(i G • Д) exp(i G • г).

Используя здесь выражение (5.23), находим

r/(G, r)=e2™,g.G.r (i = 1,2,3). (5.25)

Таким образом, функции вида (5.24) обладают полной трансляционной периодичностью решеточного потенциала. Такой же периодичностью обладают и функции Mfc(r), согласно (5.17). Поэтому их можно разложить в ряд Фурье по функциям (5.24):