206. Доказать, что потенциал поля точечного заряда в клиновидной области, найденный в предыдущей задаче, можно представить в виде

(р{г, а, z) =

ch-f - cos-

, тгС + 7)

v/ch С - ch 77

r+r+2 2гго

77 > 0.

Указание. Воспользоваться формулами:

f Ar.(Jfcr)/.(Jfcro)cosJfc«dJfc = - / J 2y/2rro J

2Vl-2pcosa;--p

2y/2rro J Vch-chr/

COS rue

207. Найти поле (p заряда q, находящегося вблизи проводящей полуплоскости а = О в точке го с цилиндрическими координатами (го, 7, z = 0).

Указание. Воспользоваться результатом задачи 206. Для вычисления интеграла сделать подстановку ch = ch ch«, где О < « < со.

208. Найти распределение а поверхностного заряда вблизи ребра клина с двугранным углом (3 (угол отсчитывается вне проводника). Клин находится в поле произвольным образом распределенного заряда.

Указание. Сначала рассмотреть, случай, когда вблизи клина находится один точечный заряд, воспользовавшись результатом задачи 205*, разложениями (П3.6) и формулой

j К{кр)кCOS kzdk = 2-Vr(i/-ь i)

(p2 + 2).+l/2-

виде

V\kir) + {E-U{r))Mr)=0,

VVfcW+/(r)fc(r) =0. (5.7)

Таким образом, исходное уравнение Шредингера представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с периодическим коэффициентом при искомой функции. Общее решение уравнения типа (5.7) было получено еще в 1883 г. математиком Флоке. Он получил решение в виде (5.6), т. е. в форме функций, которые сейчас называются одномерными функциями Блоха.

Доказательство.

Рассмотрим доказательство теоремы в одномерном случае. Предположим, что имеется бесконечная кристаллическая цепочка, содержащая N ионов. Реально ее можно представить в виде кольца, причем первый ион и iV-й ион совпадают. Тогда должны выполняться циклические граничные условия:

<fk{r + Na) = Mr)- (5.8)

Пусть Тп - трансляционный оператор, действующий только на координату г. Определим его так:

Тп{г) = {г + па}, (5.9)

где п = О, ..., N. Тогда действие этого оператора на волновую функцию, являющуюся решением уравнения (5.5), можно записать в виде

Tk{r) = Mr + na). (5.10)

Будем искать только такие собственные значения оператора Т„, для которых справедливо равенство

Тп(Рк{г) = Сп(рк{г) (5.11)

Решение Блоха (5.6) представляет собой произведение обычной плоской волны exp(«fc г) на периодическую функцию Mfc(r) с периодом решетки. В целом эту функцию можно считать модулирующим множителем плоской волны.

Учитывая, что р -ih-, перепишем уравнение Шредингера (5.5) в

отсюда

= к, (5.14)

01 = 6==. (5.15)

Таким образом, для ироизвольной трансляции па, используя (5.10), (5.11) и (5.15), находим

fc(r + na) =e=">fc(r). (5.16)

Здесь ехр(г кпа) является собственным значением оператора Т„, а (fikir) - его собственная волновая функция. Условиям (5.16) удовлетворяет функция Блоха (5.6). Покажем это:

<fk{r + па) = e=(+")Mfc(r + па) =

= eeUk{r + na) = е>"е Uk{r + na).

Так как согласно условиям теоремы функция Uk{r) периодическая с периодом решетки, то

Uk{r) = Uk{r + па). (5.17)

Таким образом, имеем

Мг + па) = e""e"-Uk{r) = е»". Это и доказывает теорему Блоха.

Сп - собственное значение оператора Г„. Запишем (5.11), полагая п = 1 и

n = N:

Trk{r)=cwk{r) = k{r + a), (5.12)

ТмЫг) = (cifMr) = Mr + Na)- (5.13)

Используя циклические условия (5.8), находим из (5.13)

(ci) = 1,

С1 = (1)=ехр(2), . = 1,2,...,Ж Согласно определению (3.8) волнового числа к имеем