Проинтегрируем (1) вдоль траектории частицы от г = а до г = 6:

27ГС

2nHrdr = -

еФ 2жс

Отсюда

если воспользоваться результатом задачи 621 и тем, что Ттах =

При малой разности потенциалов еУ пи? (это эквивалентно тому, что V < с), результат (2) упрощается:

Фкр = 27ГС6.

705. Разность потенциалов V должна быть больще, чем

При еУ < тс (нерелятивистские электроны) получаем из общей формулы:

706. 6 = ае11,гдеро = 5=.

VI - vVc

708. Воспользуемся цилиндрическими координатами г, а, начало которых совпадает с зарядом Ze и полярная ось направлена вдоль момента импульса частицы. Тогда движение происходит в плоскости z = 0, причем г будет представлять собой расстояние между зарядами -е и Ze. Первые два уравнения в ответе к задаче 703 примут вид:

( тг \ тгс? Ze

v/1 - v/c

= ё = const. (3)

Из выражения (3) видно, что возможны траектории двух основных типов. При больших значениях г полная энергия 8 = тх? + Т (Т - кинетическая энергия), поскольку при г -> оо потенциальная энергия щ--> 0.

Так как Т О, то при Е < тс частица не может далеко отойти от при-тягиваюшего центра и ее траектория заключена в ограниченной области (финитное движение). При Е > тс существуют ветви траектории, уходящие на бесконечность (инфинитное движение).

Найдем дифференциальное уравнение, которым определяются траектории частицы. Из (2) следует

d = !veziia (4)

dt тг da >

Подставляя (3) и (4) в первое из уравнений (1), получим дифференциальное уравнение траектории частицы:

dP П\ , 2л 1 Ze8

daV) г Кс

Интегрирование этого уравнения дает при рф1:

= Р Кс - Ze

l + £cosv/iT7a ZeB

где £ - постоянная интегрирования. Вторую постоянную интегрирования можно исключить соответствующим выбором начала отсчета угла а, а величину £ выразить через § и К. Траектории симметричны относительно оси X {а = 0).

Из второго уравнения следует, что момент импульса является интегралом движения:

." =К = const. (2)

yjl - v/c

Другим интегралом движения является полная энергия системы

Рассмотрим подробнее случай р <1. Как видно из (6), в этом случае

частица не приближается к центру ближе, чем на расстояние Гтт =

если принять что £ > 0. В формуле (6) начало отсчета угла а выбрано так, что г = rmin при а = 0. Частица может многократно проходить на

Рис. 115

расстоянии rmin от центра. Во всех таких точках г = О и скорость направлена

/г.П(

перпендикулярно к радиусу-вектору г. Поэтому К = -7""""° - Исключая

отсюда и из уравнения (3) § = выражение rmin через е, найдем:

у/1 - vyc

величину V и используя

Из (7) видно (р < 1), что при S < пи? параметр е < 1. Движение при этом финитно и траектория «эллипсовидна» (рис. 115). Она име-