693. Траектория частицы определяется уравнением:

\е\Е

сроу

СРОх

\е\Е оу

В нерелятивистском пределе ёо = гш?, ро<:тс и <1.

Последнее следует из того, что \е\Ет - приобретенный частицей импульс - должен быть в нерелятивистском случае мал по сравнению с тс. Таким образом,

т\е\Еу РО 2р1у Роу-

-пи?

694. 1 =

695. Направим ось z Н. Будем исходить из дифференциальных уравнений движения в четырехмерной форме:

(fx ..dy dPy

dx dPz

= 0,

= 0,

Первые два уравнения удобно записать в виде 4+1 = О, где и =

= x + iy. Из последнего уравнения получим

cf=T, eo=cpi+m4\ S = mcf = So.

1ч ev X Н

Можно исходить также из трехмерного уравнения - = -, сделав в нем заме-

g dt с

ну р = -т- и воспользовавшись тем, что S = const (магнитное поле не совершает работы с

над частицей).

2Ei н

2сЕ„

Рис. 114

Z = Vozt.

Из уравнений (1) видно, что частица движется в магнитном поле по винтовой линии, навитой на силовые линии магнитного поля. Радиус этой винтовой

линии равен R = \Ri\, где Ri =

Poj. = yJpox+Poy Частота обрашения

равна ш = \ш2\, где Ш2 = (знак за-

ряда может быть отрицательным). Шаг винтовой линии равен

27гг)0г 27Г(?г)0г

где voz =

S

\e\Hc

Очевидно, что R = где vo± =

= --составляюшая скорости ча-

стицы, перпендикулярная к полю. При малой скорости частицы S = тс и

mcvo± \с\Н

тп с

sina = -

\е\Н

Угол а определяется уравнениями:

cos а = -

PO-L"

Энергия частицы не зависит от времени, так как силы магнитного поля не совершают работы. Интегрируя уравнения для и и Z, отделив действительную и мнимую части и и выразив собственное время т через t, найдем:

х = Rl cos(a;2t + а) + + xq, у = -Rl sm{w2t + а) - +;

X = asva.u3t+ -t, л

у = a{cosijjt - 1),

где а =---.

Вдоль оси Z происходит равноускоренное движение под действием ;г:-составляющей электрического поля. Движение в плоскости ху представляет собою обращение заряда в однородном магнитном поле по окружности, радиус которой а, а центр равномерно движется («дрейфует») в направлении, перпендикулярном плоскости (Е, Н).

Скорость дрейфа

сЕу

Возможные проекции траектории частицы на плоскость приведены на рис. 114. Траектории а), в), д), ж) являются трохоидами общего вида, б),

е) - циклоидами. Движение будет нерелятивистским, если vq <с,

и время t не слищком велико:

тс Н

eEz ijjEz

697. ж = sin хНт + (cos хНт - 1), у = (cos хНт - 1) + sin хНт, 2 = (chусЕт - 1) + shусЕт,

cf = (chхЕт - 1) + shхЕт,

698. а) Пусть электрическое поле Е у, магнитное поле Н г{ъ системе 5). В начальный момент f = О частица находится в точке х = у = = Z = О и обладает импульсом ро. Движение имеет различный характер в случаях E>HiiH>E. В первом случае существует, как это следует из вида инвариантов поля Е • И = О, Е - Н > О, такая система