196. Напряженность поля в плоском конденсаторе равна Eq. На заземленной обкладке имеется проводящий выступ в форме половины вытянутого эллипсоида вращения, ось симметрии которого перпендикулярна к плоскостям обкладок. Расстояние между обкладками велико по сравнению с размерами выступа. Найти электрическое поле tp в конденсаторе. Определить, во сколько раз максимальное значение напряженности поля Fax и превосходит Eq}

197. Проводящий незаряженный эллипсоид находится во внешнем однородном поле Ео, ориентированном произвольно по отношению к его осям. Найти полное электрическое поле ip. Рассмотреть поле на больших расстояниях от эллипсоида, выразив его через коэффициенты деполяризации:

оо оо

(х) аЬс f ds (у) abc f ds

(s + c)i?,

(Rs = /(s + o)(s + 6)(s + c)).

Результат задачи поясняет принцип работы громоотвода.

Указание. Воспользоваться эллипсоидальными координатами (см. задачу 64*). Искать потенциал в виде ¥().

194. Исходя из результатов предыдущей задачи найти потенциалы и емкости вытянутого и сплюснутого эллипсоидов вращения. Рассмотреть частные случаи тонкого длинного стержня и тонкого диска. Емкость С и потенциал ip вытянутого эллипсоида вращения найти также, используя результат задачи 75.

195*. Проводящий эллипсоид с зарядом q находится в пустоте в однородном внешнем поле, напряженность Ео которого параллельна одной из осей эллипсоида. Найти потенциал ip полного электрического поля.

указание. Воспользоваться эллипсоидальными координатами задачи 64*. Граничные условия на поверхности эллипсоида ( = 0) могут выполняться толыю, если зависимость потенциала ip, вызванного наведенными зарядами, от г}. С, будет такая же, как у внешнего поля:

9 =M,n,0-F{0-

203*. Однородное электрическое поле Ео г: в полупространстве 2; < О ограничено заземленной проводящей плоскостью 2; = О с круговым отверстием радиуса а. Найти поле ip во всем пространстве. Рассмотреть, в частности, поле на больших расстояниях за отверстием (в полупространстве Z > 0).

Указание. Воспользоваться сплюснутыми сфероидальными координатами (см. задачу 65*) с с= 0. Искать решение во всем пространстве в видеip = -EozF{).

198. Найти выражения коэффициентов деполяризации, введенных в предыдущей задаче, в случае вытянутого эллипсоида вращения (о > 6 = = с). Рассмотреть частные случаи очень вытянутого эллипсоида (стержня) и эллипсоида, близкого к щару.

199. Найти коэффициенты деполяризации для сплюснутого проводящего эллипсоида (о = 6 > с). Рассмотреть, в частности, случай диска.

200*. Диэлектрический эллипсоид с полуосями а, Ь, с находится в однородном внещнем поле с напряженностью Eq. Диэлектрическая проницаемость эллипсоида ei, а окружающего его однородного диэлектрика ег. Найти потенциал ip результирующего электрического поля (воспользоваться указанием к задаче 195"). Найти напряженность Б электрического поля внутри эллипсоида, а также потенциал ip2 вне эллипсоида на больших от него расстояниях, выразив его через составляющие поляризуемости эллипсоида по главным осям.

201. Эллипсоид вращения с диэлектрической проницаемостью ei находится во внещнем однородном поле Ео в однородной диэлектрической среде £2- Найти энергию U эллипсоида в этом поле и приложенный к нему вращательный момент N. Рассмотреть также случай проводящего эллипсоида вращения.

202*. Показать, что при сообщении проводящей жидкой сферической капле достаточно большого заряда капля теряет устойчивость. Найти это критическое значение заряда кр- Радиус капли R, коэффициент поверхностного натяжения а.

Указание. Сравнить энергию сферичесюй капли с энергией деформированной капли, имеющей форму вытянутого эллипсоида вращения. Площадь поверхности таюго эллипсоида

5 = 27гЬ= + -р? axccosi (a>b = c).

204. Найти распределение зарядов сг на проводящей плоскости в предыдущей задаче.

205*. Внутри клиновидной области пространства, ограниченной двумя пересекающимися под углом /3 заземленными проводящими полуплоскостями OA и ОВ, в точке N{tq) находится точечный заряд q (рис. 11).

Рис. 11

Цилиндрические координаты заряда (го, 7,0); ось z направлена вдоль ребра клина, азимутальный угол а отсчитывается от грани OA. Доказать, что потенциал ip{r, а, г) может быть записан в виде

ip{r,a,z)= j ipk{r, а) cos kzdk,

Knn (fcro)/mr (fcr) sin sin при г < Го,

n=l 00

/3 /3

У2 ПЕ (го)Ашг (кг) sin -г- sin при г > го,

„=1/3 0 Р Р

/шг и к ПК - цилиндрические функции.

0 0

Указание. Воспользоваться формулой (П1.11) и приложением 3.