615. Пусть щ - четьфехмерная скорость среды. Составим 4-инвари-ант (см. формулу (Х.37)):

fiUi = 7(f. V) - 7(Q + f • V) = -7Q = inv.

Если обозначить через Qo количество тепла, выделяемого в единице обьема среды в единицу времени в той системе, ще среда покоится, то Q =

= QoVl.

616. с<; = 7 (с-; + + /ЗТ,), 5. = 7 [(1 + + Vw + VT, Sy = 7(5; + УТд, 5, = 7(5; + УТ,), Т.. = 7(tL + + /3V),

•уу - -ии •yz - •vz •zz - •zz

T,y = r{Zy + sy), т,, = 7(т;, + §5;).

617. Ти = 0.

618. Импульс и энергию поля в обьеме V в момент * = можно

выразить интегралами / То» dS и f Too dS соответственно, где dS - элемент гиперповерхности жо = const (очевидно, dS = dV). Аналогичными интегралами выражаются импульс и энер-

гия поля в момент = Введем произвольный вспомогательный постоянный 4-вектор аг и составим сумму Tojaj. Рассмотрим далее 4-обьем U, ограниченный цилиндрической гиперповерхностью S, образующая которой параллельна оси жо, и двумя гиперплоскостями: жо = const и Xq = const (рис. 103).

Применим 4-теорему Гаусса к интегралу по этой гиперповерхности от функции ToiO,:

Тогаг dS = j ai dfi = О,

= const

Рис. 103

так как = О при отсутствии зарядов. На цилиндрической гиперповерхности Tot = О, поскольку на границах обьема V системы поле отсутствует.

Другими словами, величина о» / То» dV - инвариант относительно преобразования Лоренца. Но тогда / Та dV должен быть 4-вектором (ср. с задачами 597 и 4).

619. Вычислим изменение Кгк за время dt. При этом придется сравнивать значения Kik на двух близких гиперплоскостях t = const и t + + dt = const. Учитывая, что на бесконечности поле отсутствует, можно преобразовать разность интегралов по этим гиперплоскостям в интеграл по замкнутой гиперповерхности S, образуемой дополнением этих гиперплоскостей бесконечно удаленной боковой гиперповерхностью. Полученный интеграл преобразуется по теореме Остроградского-Гаусса

(П - обьем внутри замкнутой гиперповерхности 5). Преобразуем правую часть последнего выражения:

Здесь Tik = Tki вследствие симметрии 4-тензора натяжений.

Рассмотрим /Xi dn = -i f XiFkiji dQ. Так как мы имеем дело с системой точечных частиц, то

J XiFkiji dV = eXiFki

dxi dt

в правой части последнего выражения стоят координаты частиц и их функции в момент t. Согласно уравнениям движения частиц, lEfej =

at at

Аналогично можно рассмотреть fxkdn. Таким образом, интеграл

по dJl обращается в - XlXj - Xkdt и сокращается с такой же суммой по частицам.

Kik - функционал от пространственноподобной гиперповерхности t = const.

Тогда (учитывая направление нормали) получим

Поэтому

dKik dt

= О, Kik = const.

620. Полный момент импульса частиц и поля в обьеме

где ka0 = XaP0 -X0Pa - MOMCHT импульса одной ИЗ частиц, интеграл берется по той части гиперплоскости t = const, проекция которой на трехмерное пространство равна V. Аналогичным образом записывается Ka0{t + dt). Рассмотрим момент им- у пульса, теряемый системой за промежуток времени dt:

- dKa0 = Kaffit) - Kaffit + dt) =

= -T.dka, + i I ...-if...

t+dt t

Разность интегралов по близким гиперплоскостям можно представить в другом виде, заметив, что J + J + J = § по замкнутой цилиндриче-

t t+dt Sfc,

СКОЙ гиперповерхности (см. рис. 104), образую- р

щие которой параллельны оси времени. Так же,

как это было сделано в предыдущей задаче, можно убедиться, что / сокращается с - X) dka0. Тогда

-dKa0 = с J (а0-Г ~ XffTay) dS.y. Seat

Элементы гиперповерхности 5бок, очевидно, нормальны к оси t и могут быть представлены в форме dSj = ic dt df, где df - элемент обычной поверхности, замыкающей обьем V,n - орт нормали к этому элементу. Отсюда получаем выражение для убыли момента импульса системы в единицу времени:

- = J{-XcT0 + X0Tc)ndf. (1)

Не следует забывать об условности таких рисунков.