В случае Е> Н имеем:

В любой системе S", движущейся вдоль Е с щ)оизвольной скоростью, магнитное поле также будет отсутствовать. В случае Е <Н

606. При х < J/c в системе отсчета, движущейся со скоростью V = = cte/J параллельно оси щшиндра в направлении вектора Е х Н, электрическое поле £" = О, а магнитное поле гг - i

При >с> J/съ системе отсчета, движущейся со скоростью V = J/>с параллельно оси щшиндра в направлении ЕхН, Я = 0и£" = (l -

При X = J/c не существует такой системы отсчета, в которой имелось бы только электрическое или только магнитное поле. Как видно из приведенных формул, при X -» /с скорость такой системы отсчета стремилась бы к с, а величины обоих полей - к нулю.

607. а) В фиксированный момент времени (dt = 0) получаем уравнения dr X Н = О, Е • dr = 0. Первое из них показывает, что dr Н, т. е. dr является элементом магнитной силовой линии. Систему (2) можно записать в виде Fik dxk = О, откуда следует ее релятивистская инвариантность. Здесь Fik - тензор поля, dxk - приращения координат.

б) Условие совместности системы имеет вид Е-Н = 0. Оно релятивистски инвариантно и показывает, что релятивистски инвариантные магнитные силовые линии можно ввести только для взаимно перпендикулярных электрического и магнитного полей.

в) Условие интегрируемости системы имеет вид

H,rotE+i

с dt J

-EdivH = 0,

или в ковариантной записи, Fikekimn = о, и всегда удовлетворяется в силу уравнений Максвелла.

E,rotH+

с dt

Последнее уравнение накладывает на распределение зарядов и токов условие вида

Е X j -ь сНр = 0.

Если перечисленные условия не выполняются, то инвариантных силовых линий электрического поля ввести не удается. Силовые линии движутся

Б X Н

поперек своего направления со скоростью и = -с-

610. v=, А = е

R cR

где R* = \/{х - Ы) + (1 - /32)(2/2 + z), (г»*, 0,0) - координаты движущегося заряда в момент t, R(x - vt, у, z) - радиус-вектор от заряда в точку наблюдения в момент f, г? - угол между R и v.

611. Из формул предыдущей задачи следует, что вдоль линии движения заряда {в = О, тг) поле Е ослаблено по сравнению с кулоновым Еку„ = = е/Д2 в 1 - у2/с2 рдз д g перпендикулярном направлении (г? = тг/2)

поле Е усилено в - раз. При У ~ с поле велико только в узком интервале углов Дг? ~ у/1 - Vjc? вблизи экваториальной плоскости.

г) Записав уравнения (2) в виде (Е J Н):

H(H-dr) , ЕхН

убеждаемся в справедливости сделанного в условии задачи утверждения г).

608. В трехмерной записи система, приведенная в условии задачи, принимает вид

drxE-cHdf = 0, H-dr = 0,

откуда следует, что в любой фиксированный момент времени (dt = 0) выполняется условие параллельности dr х Е = О приращения dr и электрического вектора Е. Уравнения совместны при Е • Н = О и интегрируемы при

HdivE = 0.

Условие Е\\ = Еу огаосится к одним и тем же точкам 4-простран-ства. Но если в системе покоя заряда какая-то точка А находится на оси х на расстоянии R от заряда, то в лабораторной системе та же точка будет находиться от него на расстоянии Ry/l - /З. Сравнивая значения Ец в точке Ryjl - и Ем в точке R, получим

Ей =

как и должно быть.

Ро г*

612. vp =

н = : X Е,

где R = (ж - vt, у, z), г* = ж - vt, ly, lz, диполь движется по оси ж, находясь в момент времени t в точке с радиусом-вектором Vf.

613.

p = p + f xm-(7-l)V

m = tn-xp-(7-l)V,

где p и tti - дипольные моменты в системе покоя.

614. Используя формулы преобразования четырехмерной плотности тока, найдем, что стороны 2 и 4 прямоугольника (рис. 102) не заряжены,

а стороны 1 и 3 несут заряды qi =

= -93 = -- • где - ток в системе S, связанной с петлей. Отсюда (или из результата задачи 613) следует, что электрический дипольный момент петли, наблюдаемый в S, равен р =

= qzb = m, где m = - магнитный момент петли, наблюдаемый в системе 5.

Рис. 102