Главная страница  Электростатика проводников 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [ 15 ] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

181. Выразить потенциальные коэффициенты Sik через емкостные Сгк в случае системы двух проводников.

182. Емкости двух уединенных проводников равны ci и cg. Эти проводники находятся в однородном диэлектрике с проницаемостью е вакууме на расстоянии г, большом по сравнению с их собственными размерами. Показать, что емкостные коэффициенты системы равны

УКАЗАНИЕ. Определить сначала потенциальные юэффициенты с точностью до величины 1 /г.

183. Емкостные коэффициенты системы двух проводников равны сц, С22, С12 = С21. Найти емкость С конденсатора, обкладками которого служат эти два проводника.

184. Четыре одинаковые проводяшие сферы расположены по углам квадрата. Сфера 1 несет заряд q. Затем она соединяется тонкой проволочкой поочередно на время, достаточное для установления равновесия, со сферами 2, 3, 4 (нумерация проводников циклическая). Найти распределение заряда между проводниками по окончании всех операций. Потенциальные коэффициенты системы заданы.

185. Три одинаковые проводяшие сферы с радиусами о находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной 6 о. Вначале все сферы имели одинаковые заряды q. Затем они по очереди заземлялись на время, достаточное для установления равновесия. Какой заряд остается на каждой сфере по окончании всех операций?

186. Собственные емкости двух проводников, находящихся в однородном диэлектрике, Ci и С2, их потенциалы Vi и V2, расстояние между проводниками г много больше их размеров. Найти действующую между ними силу F.

187. Замкнутая проводящая поверхность с потенциалом Vi содержит внутри себя проводник с потенциалом Vq. При этом потенциал в некоторой точке Р иежду проводящими поверхностями равен Vp. Пусть теперь проводники заземлены, а в точку Р помещен заряд q. 1Сакие заряды будут при этом индуцированы на проводниках?

188. Показать, что в отсутствие точечного заряда геометрическое место точек, из которых единичный заряд индуцирует на некотором заземленном проводнике заряд одной и той же величины, совпадает с эквипотенциальной поверхностью поля этого проводника.



189. Два проводника с собственными емкостями сц и С22 и взаимной емкостью ci2, составляющие часть некоторой системы изолированных проводников, соединены тонкой проволокой. Какова собственная емкость объединенного проводника, коэффтщенты взаимной емкости его и остальных проводников системы?

190. Два одинаковых сферических конденсатора с радиусами внутренних и внешних обкладок, соответственно а и 6, изолированы и находятся на большом расстоянии г друг от друга. Внутренним сферам сообщены заряды qviqi, после чего внешние сферы соединяются проволокой. Найти (приближенно) изменение AVF энергии системы.

191. Заземленная внешняя обкладка сферического конденсатора имеет малую толщину. В ней проделано небольшое отверстие, через которое проходит изолированный провод, соединяющий внутреннюю обкладку конденсатора с третьим проводником, находящимся на большим расстоянии г от конденсатора. Собственная емкость этого проводника С и вместе с внутренней обкладкой конденсатора он несет заряд q. Радиус внешней обкладки конденсатора Ь, радиус внутренней обкладки о. Найти силу F, действующую на третий проводник.

192*. Проводник заряжается путем последовательных подсоединений к разрядному шарику электрофора. Шарик электрофора после каждого под-соед1шения вновь заряжается, приобретая при этом заряд Q. При первом подсоединении на проводник с шарика переходит заряд q. Какой заряд получит проводник после очень большого числа подсоединений?

§ 3. Специальные методы электростатики

В этом параграфе содержатся задачи, относящиеся к различным разделам электростатики, более трудные в математическом отношении. Многочисленные методы решения задач электростатики изложены в ряде книг ([46], [66], [69], [93], [100]) в настоящем сборнике иллюстрируются лишь некоторые из этих методов: метод криволинейных координат (для случаев эллиптических поверхностей и поверхностей двух сфер), методы изображений, интегральных преобразований и инверсии. Схема их применения разъясняется непосредственно в решениях задач (более подробно, например, в задачах 193*, 195*, 205*, 209*, 211*, 215*). Изложим здесь кратко только метод инверсии.

Преобразованием инверсии называется такое преобразование пространства, при котором каждая точка его переходит в точку, сопряженную относительно некоторой, надлежащим образом выбранной сферы (шверсии радиуса R. Если сферическими координатами (с началом в центре сферы



инверсии) первоначальной точки являются г, i?, а, то сферическими координатами инвертированной точки будут г = Д/г, а. В векторной форме

г = Д!£ или r=f. (III.32)

Преобразование инверсии обладает свойством конформности. При инверсии сфера преобразуется в сферу. Если, в частности, центр инверсии лежит на преобразуемой сфере, то последняя преобразуется в плоскость (и наоборот).

Уравнение Лапласа инвариантно относительно преобразования инверсии: если функция ip{r) является решением уравнения Лапласа в исходном пространстве, то

<(г) = -.(г) = <(г) (П1.33)

представляет собой решение уравнения Лапласа в инвертированном пространстве.

Основная задача, решаемая методом инверсии, формулируется так. Нужно найти поле системы заземленных проводников и точечных зарядов Qi, находяшихся в точках г». Потенциал на бесконечности V = const. Для решения задачи произведем инверсию с таким расчетом, чтобы поверхности проводников приобрели более простую форму.

При этом точечные заряды qi заменяются зарядами

9i = 9г, (П1.34)

находяшимися в точках

Кроме того, в точке г = О появляется точечный заряд

qo = -RV. (П1.35)

В инвертированной системе решаем электростатическую задачу - находим потенциал р{т). Потенциал ip{r) можно затем получить с помошью обратного преобразования. Разумеется, можно и наоборот - по известному ip находить ip.

193*. Проводящий эллипсоид с зарядом q и полуосями о, Ь, с помешен в однородный дюлектрик с проницаемостью е. Найти потенциал ip, а также емкость эллипсоида С и поверхностную плотность заряда а на его поверхности.




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [ 15 ] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

0.02