также является 4-вектором. Таким образом, оператор четырехмерного градиента, определенный в виде

где V - оператор трехмерного градиента, преобразуется как 4-вектор.

596. Tik = VkAi,

( д д

9x2 9x3/ Четырехмерная дивергенция „ . аЛо , dAi , dAi , дАз .

597. а) скаляр; б) 4-вектор.

Рис. 101

598. Перепишем условие параллельности векторов Л» и Я» в виде (умножив числитель и знаменатель каждой из дробей на одно и то же число):

aojAo - Qiiti - Q!2t2 - азгАз

OlQiBo - ОцВ- - а2гВ2 - О.ЗхВз

Воспользовавшись теперь известным свойством равных отношений, получим:

Aj QJQio - 0.\iA\ - 0.2%А2 - о.з%Аз Bi ~ aoiBo - auBi - а2гВ2 - «згз ~ В[

599. Существенно различны четыре компоненты. Они совпадают с точностью до знака с компонентами вектора Ai = еццтАмт, откуда Ло = Л12З = Л231 = . . ., Л1 = -Л2ЗО = Лз20 = ..., Л2 = -Лзю =

= Л130 = ..., Лз = -Л120 = Л210 = ... Остальные компоненты Лы равны нулю (у них имеются совпадаюшие индексы). Отсюда следует, что не равные нулю компоненты Aiki преобразуются при четырехмерных поворотах и отражениях как компоненты четырехмерного псевдовектора.

601. Если Хг = aikxk, то матрица а имеет вид (координату хо пишем на четвертом месте):

/cha -sha О 0\

sha -cha О О О 0-10

\ О О 0-1/

602. Искомую матрицу д можно представить в виде произведения трех матриц:

д = д{в,(р)д{а)д-{в,ф).

Матрица

/10 О о \

о -COS. COS у; sin уз sin. cos уз

О -cos.siny3 -cosy3 -sin.siny3

\Q sin. 0 -COS. /

описывает пространственный поворот системы отсчета (рис. 101):

Хг = gik{&,(p)Xk.

Матрица

5И =

/cha О О 0-10

0 0-1

\sha О О

-shQ;\ О О

-cha/

соответствует переходу к системе отсчета S" от системы S", движущейся вдоль оси Жз со скоростью V/c = th а (т. е. описывает преобразование Лоренца для координат жо, жз). Наконец, матрица (., уз) описывает поворот, в результате которого система отсчета S переходит в S" (см. рис. 101). 5~(., уз) совпадает с матрицей, транспонированной к §{&, уз). Перемножив матрицы, найдем:

/cha -Wish а -W2sha -wash а \

Wish а Wi(l-cha) -1 wiW2(l -cha) wiW3(l -cha)

W2sha WiW2(l - cha) - 1 W2(l-cha) -1 W2W3(1-cha)

\w3sha WiW3(l -cha) W2W3(1 - cha) - 1 W3(l-cha) -1/

uji = sin . cos уз, UJ2 = sin . sin уз, шз = cos ..

§ 3. Релятивистская электродинамика 489

§ 3. Релятивистская электродинамика 603. в вакууме:

(V-E)

у2

ДУ.Н)

Е = 7(е- хН) -(7-l)V

H = 7(h + xE)-(7-1)V 2 . В средах:

Р = 7(Р + x М) - (7 - 1)V, M = 7(M-X,p) (, l)viX .

Формулы преобразования для пар векторов Е, В и D, Н аналогичны формулам преобразования пары Е, Н в вакууме.

604. Задача имеет бесчисленное множество решений. Если найдена система S (движущаяся со скоростью V), в которой Е Н, то в любой системе отсчета, движущейся относительно S вдоль этого общего направления, Е и Н будут параллельны, как это следует из (Х.25). Будем искать в связи с этим только ту систему отсчета S, которая движется перпендикулярно плоскости Е, Н. Воспользовавщись условием параллельности векторов Е и Н, Е х Н = О и формулами преобразования из задачи 603, найдем:

V .,Е + Н- VJE - HY + 4(Е • Н)2 Т- 2(Е x Н)2 •

С помощью инвариантов поля получим далее

Е = [Е -Н + (£;2 я2)2 + 4(Е.Н)2], Я2 = [Я2 -Е + /(£;2-Я2)2 + 4(Е-Н)2].

605. Для предварительного исследования удобно воспользоваться инвариантами поля. При Е > Н должна существовать система отсчета, в которой Я = О, Е = \JE? - Я2. При Е < Н существует система отсчета, в которой Е = 0,Н = у/Ю - Е?.