V = -V В Рис. 96

571. Если положение Земли на орбите определяется азимутальным углом и а = (О, fltf, йа) - вектор, проведенный из точки (., а) небесной сферы в точку видимого положения звезды на небесной сфере, то

од = -yScos. • sin(a - if), йа = -/9cos(a - (/?).

Отсюда видно, что видимое положение звезды на небосводе в течение года описывает эллипс с полуосями у9 cos . и 0.

572. Рассмотрим в системе 5 пучок внутри телесного угла cffi = = sin ddtdda.Q системе S этот пучок будет наблюдаться внутри угла (Ю! =

cos 1? Q

= sin cf. da. Угол a = a, a cos =----. Отсюда

1 - Pcosd

da = sin d. da =--- da.

{l-/3cos) При этом, разумеется, / dCl = fdCl = Атг.

Заметим, что все три угла между скоростями, изображенные на рис. 96, относятся к разным системам отсчета и что сам рисунок условен (например, изображенные на нем отрезки АС = СО = СВ = с).

Из полученных результатов видно, в частности, что угол аберрации 5 зависит только от относительной скорости v Земли и Солнца и не зависит от скорости Солнечной системы относительно звезды.

cosa = -

Угол а близок к 90° только при V <с. Если V -» с, то а -»тг.

577. Ш = Шогг--J = Jq----г.

Частоты совпадают, ш = шо при в = во, где coso = (1 - \/l - при этом J = Joy/l - /3. Интенсивности сравниваются, J = Jq при в = = в\ < во, cos01 = [1 - (1 - /32)3/*] 3. Когда источник света находится далеко от наблюдателя, приближаясь к нему,так что в <во, частота ш > шо из-за эффекта Доплера («фиолетовое» смещение). Если к тому же в < вх, то интенсивность J также превышает Jo - движущийся источник выглядит более ярким, чем неподвижный. Интенсивность максимальна при в = О

и составляет Jax = Joi + Pf/V - 0- При в> во частотам < шо, и наблюдатель видит «красное» смещение; интенсивность света теперь меньше, чем у неподвижного источника. Эти эффекты особенно заметны при и с, когда

1 + 0 {1+/зу/

a угол

во « \/2(l - /3)1/4

573. UK = No,dNo, где Щ - полное число

<т 47Г <т 47Г (I-cosj?)

видимых звезд.

574. ш = 7w(l + или W =--, к = 7(к +

+ )+(7-1)(кхУ)Х:,гдеп=,п=Д = .

575. Если Шо - частота в той системе, где источник покоится и V - скорость источника относительно приемника света, то приемник зарегистрирует меньшую частоту ш = шо1 - (красное смещение).

Угол а луча с направлением движения источника в системе его покоя определяется формулой:

т = Ml - /3) Г jf = 27rJo J (l-/3cosey

= 27rJo\/l-/32(l + COS0o),

a в интервале во <в <7г

N2 = 27rJox/r~ - = 27rJo\/l-/32(l - COS0o).

Очевидно, что Ni+ N2 = 47rJo\/l - соответствует полному числу фотонов, излучаемому в единицу времени по всем направлениям. Ni и N2 равны между собой при <С 1, когда cos во » 0. Если же (3 приближается к единице, то N\ делается много больше, чем N2. Таким образом в этом ультрарелятивистском случае подавляющая часть света излучается в узком конусе в <во, испытывая при этом фиолетовое смещение.

578. Используя решение предыдущей задачи, получим I = Jfko = I0-

{1-/ЗсозвУ

где 1о = Jofo - изотропно распределенная сила света в системе покоя источника. Полный световой поток

(4я) О

одинаков в системе покоя источника и в лабораторной системе (сравнить с результатом задачи 767).

579. Введем систему S, связанную с зеркалом (5 - лабораторная система). Обозначим через ai и а2 углы, образуемые волновыми векторами kl и Ц падающей и отраженной волн с направлением скорости V

так что покраснение света начинается, когда источник находится еще далеко от наблюдателя, приближаясь к нему. Это происходит, начиная с расстояний I « cf/00-

Число фотонов, излучаемых в единицу лабораторного времени в интервале углов Q <в <во, есть

во ,-