538. Qv = = j ИВ- Система потеряет резонансные свойства

4с у 2с

при достаточно высоких частотах, когда расстояние между соседними собственными частотами станет сравнимым с шириной резонансной кривой, определяемой декрементом затухания у, = vjIQv При высоких частотах, как следует из результатов задачи 530, расстояние между соседними собственными частотами:

Дш т?(? 1

Приравнивая эту величину декременту 7, найдем область частот, для которых система обладает резонансными свойствами:

ш < 10aV5a4/5

При а « 1 см и (т = 10сек- имеем: ш < 3 • Юсек-.

539. Производя разложение Б и Н по собственным функциям идеального резонатора, как это сделано в задаче 537, получим для амплитуд р, и qv систему уравнений:

Pv - iujq + 2г Е AijV = О, (1)

qv - iuJvPv = -j,ye~\ (2)

где AClv = Аш - - комплексный сдвиг собственных частот;

3. = JjEvdV. (3)

Ищем решение уравнений (1), (2) в виде

Р.=Р°е--*, 9. = д°е--*. (4)

Исключив величины q°, получим

р° {ш - ЗшАП, -ш1) = Цз, + 2с<; Е Afi.-p",. (5)

Знак «» у суммы означает, что член с 1/ = v отсутствует (он перенесен в левую часть равенства).

= Т~2-о ЛГ>-2\- W

В следующем приближении получим добавку к (6), равную

Она мала, если ш близко к ш,, л все остальные собственные частоты ш, удовлетворяют условию \ш - ш \ 3> ДПь, .

Выразим знаменатель (6) через добротность и измененную собственную частоту ujv=ujv + AjJv Имеем:

л /-> л . л

шАП = шАш - гшУи « ШиАш - , что справедливо вблизи резонанса (с<; -uji,\ < ш). Отсюда

Зависимость амплитуд поля от частоты имеет резонансный характер, при заданном j поле при резонансе тем больше, чем выше добротность резонатора:

- rfi - Cя

Из полученных формул следует также, что проводник с током следует помещать в пучность электрического поля Б, и ориентировать вдоль Б,. При этом величины ji, и, следовательно, р°, q° будут иметь наибольшее значение.

540. Если волновое поле с энергией W, заполняющее резонатор, отражается от зеркала один раз, то потеря энергии составляет W{1 - R). За время dt теряется энергия

dW = -W(l-R), Li

Решаем систему (5) методом последовательных приближений. В нулевом приближении отбрасываем сумму ) и получаем

Рис. 92

где cdt/L - число отражений. По определению добротности (IX.4)

Qi =

(jjL

с(1-Д)

где ш - частота рассматриваемых колебаний.

Излучение через боковую поверхность вызвано тем, что ограниченный в поперечном направлении пучок света не может быть строго направленным. Он обязательно имеет поперечную составляющую волнового вектора Afcj., которую можно оценить из условия Afcj. • £) w 1 (см. задачу 424). Это приведет к тому, что лучи света, распространяющиеся от одного зеркала к другому, образуют слегка расходящийся пучок с углом раствора

2в =

2Ak 2с

Часть лучей не попадет на второе зеркало (рис. 92), и потеря энергии при одном отражении составит WLd/D. За время dt потеря

dW = -W$- = -W- dt.

Добротность за счет излучения:

Q2 =

Если потери в зеркалах и на излучение малы, они складываются. Полная добротность Q определяется по формуле

При указанных в условии задачи значениях параметров:

Qi«4-10; Q2«4-10»Qi; Q«Qi«4-10.