где L - коэффициент самоиндукции отрезка коаксиальной линии длиной h. В этом приближении вычисляется только одна - низшая - собственная частота (ср. решения предыдущих задач 532-535).

При d = О (закороченный с двух сторон отрезок коаксиального волновода) имеем

wm = -m, m = l,2, ... (4)

Это означает, что на длине резонатора должно укладываться целое число полуволн: h = .

считать, что оно создается разностью потенциалов

Aip = A\nsm (2)

между центральным стержнем и оболочкой.

Эту разность потенциалов следует приравнять напряжению на обкладках конденсатора, образованного торцом стержня и верхней крышкой резонатора:

Здесь С = а?/{Ы) - емкость конденсатора; q - заряд одной из обкладок, который можно выразить через силу тока J, протекающего по стержню (или равный ему по величине и противоположный по направлению ток в оболочке)

J = -iujq.

Вычисляя силу тока по известному магнитному полю (1) и подставляя ее, а также разность потенциалов (2) в формулу (3), найдем трансцендентное уравнение, которому удовлетворяют собственные частоты:

ctg- =-In-.

с са а

Это уравнение легко решается графически. При шк/с <С 1 (это означает, что А » 27гЛ - квазистационарное приближение) получаем

JE-EydV = cJEy-TotUdV. J

Считая собственные функции Е,, Н, ортонормированными в соответствии с условием (IX.3), вычислим интегралы в правых частях равенств (1):

J U-U,dV = Airp., J E-E,dV = Airq.. (2)

Собственные функции Е,, Н, удовлетворяют уравнениям:

rot El, = ifci,Hi,, rot Hi, = -ifci,Ei,, I

Hi, = fcjji,, J

rotrotE = fcE,., rot rot 2"

где ki,(fci, k2, кз) - соответствующие собственные числа (они вычислялись в задачах 529, 531). С помощью (3) можно преобразовать интегралы, стоящие в правых частях равенств (1),

div[E X rot Е] = rot Е • rot Е - Е • rot rot Е = ifc„H • rot Е - fcE • Е, поэтому

j Н • rotEdV = -iky j Еу EdV + j div[E x rotE] dV =

Hy[nxE]dS, (4)

где последний интеграл берется по внутренней поверхности резонатора и п - орт нормали, направленный в глубь проводника. Но поле на стенке резонатора удовлетворяет условию (VIII. 10), которое можно записать в виде

СН = п X Е. (5)

Собственная функция Н, резонатора с идеальной проводимостью имеет на стенке только касательную составляющую, поэтому при подстановке (5) в интеграл (4) можно заменить Нг на Н. В итоге, собирая формулы (1)-(5), получим уравнение

Ру - iujyqy = Uy-UdS. (6)

537. Поле в резонаторе описывается уравнениями Максвелла (VIII. 1), (VIII.2), причем В = Н, D = Е. Умножим первое из них скалярно на Н, а второе - на Е, и проинтегрируем по обьему резонатора:

Дшу =

JHldS, (11)

так что измененная собственная частота =ujv + Aujv

Связь между добротностью резонатора и декрементом затухания дается формулой (IX.4).

Второе уравнение выводится аналогичным путем:

Qi, - iuJvPv = 0. (7)

Исследуем влияние конечной проводимости стенок на v-vl тип колебаний идеального резонатора. Возмущенное поле Н при С О должно переходить в невозмущенное поле, т. е. в сумме

Н = 5р.-Н,,

должен оставаться один член а/ = v. Следовательно, амплитуды pi, cv = = V пропорщюнальны С и их подстановка в (6) дает члены порядка и выще. Пренебрегая такими членами, заменим Н в (6) на Pvv и получим уравнение вида

Pv - iuivQv = -PvHi dS. (8)

Если исключить одну из переменных (р,) с помощью (8), то для другой получится уравнение

а. + + [iJHl ds) = 0. (9)

Величина, стоящая в скобке, комплексна. Поэтому уравнение (9) описывает гармонический осциллятор, на который действует «сила трения» - {1 §HdSqv, где С - действительная часть поверхностного импеданса.

Рещая последнее уравнение, найдем комплексную добавку Дш, - i к собственной частоте идеального резонатора. Потери приводят к затуханию собственных колебаний с декрементом

, = JHldS (10)

и к сдвигу собственных частот на величину