циальную энергию U взаимодействия области неоднородности с внешним полем ipi.

УКАЗАНИЕ. Рассмотреть электрические натяжения, действующие на замкнутую поверхность, охватывающую область неоднородности. Использовать результат задачи 128.

167. Найти энергию взаимодействия со слабо меняющимся внешним полем Uq малой области неоднородности в диэлектрике (см. предыдущую задачу). Вследствие быстрой сходимости достаточно ограничиться членами с Z = О и 1. Результат представить в векторной форме. Найти в этом приближении силу F и вращательный момент N, приложенные к области неоднородности.

168. Показать, что незаряженное диэлектрическое тело с проницаемостью £о. находящееся в диэлектрике с проницаемостью е, втягивается в область с большей напряженностью электрического поля, если ео >

и выталкивается из этой области, если ео < £•

УКАЗАНИЕ. Использовать формулу (III. 16).

169. В общем случае компоненты дипольного момента р, приобретенного диэлектрическим телом во внешнем однородном поле Б, можно представить в виде рг = PikEk, где /3ife - симметричный тензор поляризуемости тела. Какую ориентацию стремится занять это тело во внешнем однородном поле? Тело незаряжено, PikiXk > О, х», (г = 1,2,3) - произвольный вектор.

170. Стержень из диэлектрика с проницаемостью ei погружен в однородную жидкую диэлектрическую среду с проницаемостью eg. Какую он займет ориентацию, если систему поместить в однородное внешнее поле? Какую ориентацию займет тонкий диск, находящийся в жидком диэлектрике?

171. Найти силу F, действующую на диэлектрический шар со стороны точечного заряда q (см. условие задачи 157*).

Рассмотреть предельный случай проводящего шара. Решить задачу двумя способами: методом задачи 166* и с помощью формулы (III. 16).

172. Электростатическое поле образовано двумя проводящими цилиндрами с параллельными осями, радиусами Ri, Rq и зарядами на единицу длины ±х. Расстояние между осями цилиндров а> Ri + Rq. Найти взаимную емкость Сю цилиндров на единицу длины. (Свз = /{ipi - yjg). где ipi и yjg - потенциалы цилиндров).

УКАЗАНИЕ. Воспользоваться результатом задачи 117.

§ 2. Потенциальные и емкостные коэффициенты

Потенциалы Vi, системы п проводников являются линейными однородными функциями зарядов qk на проводниках:

Vi=Y,Sikqk (г = 1,2,3, ...,п). (III.26)

fc=i

Величины Sik называются потенциальными коэффициентами. Они зависят от взаимного расположения, формы и геометрических размеров проводников, а также от диэлектрической проницаемости окружающей среды. Матрица S симметрична:

Sik = Ski. (1П.27)

Величина Sik представляет собой потенциал, приобретаемый г-м проводником, если сообщить А;-му проводнику заряд qk = 1,а остальные проводники оставить незаряженными. Все Sik > 0.

173. Оси двух одинаковых проводящих цилиндров с радиусами R находятся на расстоянии о друг от друга. Цилиндры несут заряды ±>с на единицу длины. Найти распределение зарядов а на поверхностях цилиндров.

174. Конденсатор образован двумя цилиндрическими проводящими поверхностями с радиусами Ri ти R2 > R\. Расстояние между осями цилиндров а < R2 - Ri. Найти емкость С конденсатора.

175. Определить поле <р точечного заряда в однородной анизотропной среде, характеризуемой тензором диэлектрической проницаемости Sik.

176. В пустоте находится плоскопараллельная пластинка из анизотропного однородного диэлектрика с тензором проницаемости etk- Вне пластинки однородное электрическое поле Eq. Используя граничные условия для вектора поля, определить поле Е внутри пластинки.

177. Найти емкость С плоского конденсатора с площадью обкладок S и расстоянием между ними о, если пространство между обкладками заполнено анизотропным диэлектриком с проницаемостью Sik- Краевым эффектом пренебречь.

178. Найти изменение направления линий вектора Е при переходе пустоты в анизотропный диэлектрик. Воспользоваться результатом задачи 176.

Очевидно, что и заряды проводников являются линейными однородными функциями их потенциалов:

9i = 5ZcifcVfc (г = 1,2,3,...,п). (III.28)

fc=i

Величины Сгк называются емкостными коэффициентами. При этом Cjj > О (собственные емкости); Cjfe = Cfej > О при i ф к (коэффициенты взаимной емкости, или просто взаимные емкости).

Величина Cjfe представляет собой заряд, приобретаемый г-м проводником, когда все проводники кроме к-то заземлены, а к-тл проводник имеет потенциал Vk = 1. Матрицы Sik и Cjfe являются взаимно обратными.

В случае одиночного проводника имеется единственный емкостный коэффициент сц, называемый при этом просто емкостью. Емкость конденсатора (III. 14) может быть выражена через емкостные коэффициенты его обкладок (см. задачу 180).

Энергия системы проводников имеет вид

W = \Y. CikViVk = \Y. Sikmk. (III.29)

i,k i,k

Обобщенная сила Fa соответствующая обобщенной координате а, определяется формулами:

. = 4Е*» = +Еип. (....30)

ifc ifc

При решении электростатических задач бывает полезна теорема взаимности Грина: если потенциалы п проводников равны Vi, Vg, з, • • •, К. когда их заряды qi, q2, 9з, • • •, 9n и равны V{, Vq, V3, ...,Vn, когда их заряды q[, q2, q, qn, то имеет место соотношение:

г=1 г=1

179. Доказать теорему взаимности Грина (III.31). Доказать с помощью теоремы Грина, что Sik = Ski-

180. Система состоит из двух проводников, удаленных от всех других проводников. Проводник 1 заключен внутри полого проводника 2. Выразить емкости С и С конденсатора и уединенного проводника, образующих эту систему, через ее емкостные коэффициенты. Доказать, что взаимные емкости проводника 1 и любого проводника, находящегося вне проводника 2, равны нулю.