2аЫп(Ь/а) где С= Re С-

521. Если поле симметрично относительно оси провода, продольная компонента ez удовлетворяет уравнению

,1,Л. = о. (1,

Поскольку рассматривается проводник с конечной проводимостью, параметры fc и X будут комплексными. Определим знак л так, чтобы 1т л = = х">0.

Общее рещение уравнения (1) зашплем в виде

Szir) = AH\xr) + BH\xr),

где Hq\ Hq - функции Ханкеля. Из асимптотического поведения этих функций (см. приложение 3) и условия Imx > О следует, что должно быть В = О, так как в противном случае поле будет возрастать на бесконечности. Остальные компоненты S и Ж выразим через Sz с помощью уравнений Максвелла:

ez = AH\xr), ёг = ЩАн[\хг), На = Ан[\хг). (2)

Здесь Nm, Jm - цилиндрические функции (см. приложение 3), Атп и Втп - постоянные, связанные условием

AmnJmi>tmna) + BmnNm{>tmna) = 0.

Волны магнитного типа:

Ж = [CmnJm{>Cmnr) + DmnNm{>Cmnr)\ Sm{ma + Vm), ГП = 0,1, 2,.. .,

где Хтп - п-тл корень уравнения

Jm{>ca)Nm{xb) - Nm{>ca)Jm{ycb) = О, а Стп и Dmn связаны условием:

Jmimna) + DmnNmiXmnO) = 0.

Остальные компоненты электрического и магнитного полей выражаются через (?г и .Jf с помощью уравнений Максвелла.

520. а= +

(ч 1 "3 -

При достаточно больших значениях ю- функции Яц и Н пропор-циональны -р=е " и, следовательно, электромагнитное поле затухает

\/>СГ

экспоненциально на больших расстояниях от провода. Максимальная концентрация поля сушествует вблизи провода, волна имеет поверхностный характер.

Граничное условие Леонтовича на поверхности провода приводит к характеристическому уравнению для определения >с.

я<>(«<.)

Здесь С ~ поверхностный импеданс металла. Для хорошего проводника ICI < 1, поэтому последнее равенство может выполняться только при

малых ха. Пользуясь приближенными формулами для Яц и я{ (приложение 3), получим

(а)2 1п()=гСа, 1п7 = 0,5772. (3)

Трансцендентное уравнение (3) нельзя решить графическим методом, так как входяшие в него величины комплексны. Зоммерфельд использовал для решения этого уравнения метод итераций, основанный на том,

что In ха изменяется значительно медленнее, чем ха. Обозначим = и, C« = V. Тогда уравнение (3) запишется в виде

u\nu = v.

Если найдено приближенное значение и„ (п-е приближение), то более точное значение u„+i ((п + 1)-е приближение) можно получить по формуле

w„+ilnw„ = V.

В нулевом приближении можно положить uq = v, тогда

V V V Ul =--, U2 = -7-г "3 = -Z- И Т.д.

Для дециметровых радиоволн = = 30 см, распространяющихся вдоль медного провода радиусом 1лш (проводимость меди а = = 5,2 • 10 сек~), расчет указанным методом с использованием формул (VIII.9)-(VIII.l 1) дает

и w (4,2 + 4,5г) • 10"*,

откуда

fc = f [1 + (6,0 + 6,4г)-10-]. Фазовая скорость волны

- = = (--«")<

волна несколько замедлилась.

Этот результат можно понять из следующих соображений. В случае идеальной проводимости провода поперечная электромагнитная волна имеет фазовую скорость с, поле внутри провода равно нулю. При конечной проводимости часть энергии будет распространяться внутри провода; так как скорость распространения в металле значительно меньще с, то «в среднем» электромагнитная волна замедлится. Кроме того, появится затухание.

Исследуем характер поля в предельном случае С ~* О (идеальная проводимость). При этом, как следует из (3), >г -> О, fc -> . Используя выражение функций Hq и н[ при малых аргументах, получим из формул (2)

V 2г / тгх г

<-»о плг г

Поскольку компоненты поля не могут принимать бесконечных значений, нужно предположить, что величина А пропорциональна х. Положим А =

= Aj, тогда

Sr = Жа = 8z = 0.

Это - чисто поперечная электромагнитная волна, распространяющаяся со скоростью с.