Электромагнитные колебания в ограниченных телах Для волн типа Я„о:

скаЬ

Для волн типа Ящн (ni, пг 0):

шкаЬ

а + Ь + (*4а-\- t4b)

Обозначения те же, что и в предыдущей задаче.

О г 1Г 2ir 3ir Ьг 4ir 5ir Ш 6ir 1 Рис. 90

512. Волны электрического типа.

а) Четные решения \ёх{х) = Sx{-x), Жу{х) = Жу{-х), ez{x) = -cEz{-x)]: при х> а

при -а < ж < а

ez = B sin лгж, §х = cos XX, Жу = Щ§Всо8 хх; (1) при X < -а

x = -Ae» ёх = ЩАе Жу=Ае",

k=J-x2 = M + s (4)

от частоты ш при заданных параметрах диэлектрического слоя для данного типа волны. Из рис. 90 видно, что при частотах, близких к граничной частоте, при которой появляется данный тип волны, s близко к нулю, а fc - Kuj/c. Волна при этих частотах имеет такую же постоянную распространения, как и в вакууме, и поле проникает на большие расстояния от границы слоя. С ростом ш параметр s возрастает, а л остается ограниченным. При этом fc стремится к /ёЦ, т.е. к тому значению, которое соответствует волне, распространяющейся в неограниченной диэлектрической среде с параметрами £, fj,. При достаточно больших ш и, следовательно, больших s, поле сосредоточено почти целиком внутри диэлектрического слоя.

б) Нечетные решения [8х{х)= -8х{-х),Жу{х)= -Жу{-х),8г{х) = = Sz{-x)]:

при х> а

, = Ae- <? = fAe- Жу = Ае-; (5)

при -а ж а

Sz = Bcosxx, ёх = -Щв8тхх, Жу = -ЩВ8тхх\ при X < -а

8z = Ae, 8х = -ЩАе, Жу = -%Ае,

где А = eS*" sin на; остальные компоненты 8 иЖ равны нулю. Параметры х и s определяются из системы уравнений

(xa)2 + (sa)2 = (£г-l); (2)

sa = jxatgxa. (3)

Эту систему легко решить графически. Возможные значения >г и s соответствуют точкам пересечения кривых (3) с окружностью радиуса г = = y/sfj, - 1 (рис. 90). При заданных ш, а, е, ц имеется конечное число точек пересечения, т. е. конечное число типов волн, у которых распределение поля описывается формулами (1). В частности, при г < тг сушествует лишь одна волна типа Eqq.

Рассмотрим зависимость постоянной распространения

где А = Ве*" cos ла; остальные компоненты S иЖ равны нулю. Параметры s и х определяются из системы уравнений:

(ха)2 + (saf = {ер - 1), sa = -\xactgxa. (6)

Постоянная распространения fc связана с х и s соотношениями (4).

Из графического анализа легко получить, что при < нечетные

электрические волны не могут существовать. Остальные закономерности качественно те же, что и для четных волн.

Волны магнитного типа можно проанализировать таким же путем.

513. Вдоль слоя могут распространяться четные волны электрического типа и нечетные волны магнитного типа с теми же характеристиками (постоянная распространения, конфигурация полей в области ж > О и др.), что и в предыдущей задаче.

514. Волны электрического типа.

Для определения волн этого типа нужно решить уравнение для продольной компоненты электрического поля:

+1 + J + -О (1)

Уравнение (1) интегрируется путем разделения переменных. Частные решения имеют вид

Sz{r, а) = Jm{xr) sin(ma + фщ), (2)

где Jm - функция Бесселя, ф - произвольная постоянная. Чтобы поле возвращалось к исходному значению при изменении а на 27г, нужно считать т целым числом (т = 0,1,2,...).

Поперечные компоненты электрического и магнитного полей выражаются через (?г с помощью уравнений Максвелла:

= ЩЛт{>) sin(ma + фт), Sa = Jm{) cos(ma + фт),

= -Зт{)с{ша + фт\

3/еа = %3т{)8т{та + фт).