Характер зависимости этой комплексной амплитуды от а; и t проще исследовать, образовав квадрат модуля (именно он определяет интенсивность волны):

а(а;-«а*)=

Из этого выражения видно, что интенсивность волны как функция х при фиксированном t имеет вид кривой Гаусса, но ее ширина I растет со временем:

а высота убывает за счет множителя {а + /ЗН) 2.

Волновой пакет расплывается. Расплывание происходит симметричным образом (в сторону t = +оо и в сторону -оо) и, разумеется, не связано с поглощением энергии, так как fc вещественно. Отсутствие диссипации

оо .-

видно И ИЗ того, что интеграл / Л(а;,t)2 ctr = л/<о не зависит от

времени, т. е. «полная интенсивность» сохраняется. Причиной расплывания является неодинаковость скоростей распространения (фазовых) = отдельных плоских волн, входящих в суперпозицию: вследствие дисперсии

отношение зависит от fc. fc

Как видно из выражения для Ф(г,<), форма пакета со временем не меняется. Это обусловлено линейным законом дисперсии, который строго справедлив для электромагнитных волн только в вакууме. При учете следующих членов разложения о; по fc имеет место изменение («расплывание») формы пакета. Пакет движется как целое с групповой скоростью \д.

429. Представив зависимость ш{к) в виде

W = Wo + Vg{k - fco) + (3{k - kof,

получим

(x-Vgtf

+i(kox-uot)

H{x,t) = E{x,t) = Eoix,t)e(

Плотность потока энергии, усредненная по периоду 2п/шо изменения высокочастотной составляющей, равна

7(x,f) = R«(E X Н*) = Eo{x,t)ES{x,t).

Из соотнощения = vtJ находим скорость переноса энергии:

с duj

= -.--= = fl-

§ 2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах

(ец - ej.)sin0cos0 cos2 0-Ь sine

(ец-e±)sin0cos0 е± л

432. с.пяп=" --, tgi? = jtg0.

430. При ш < Шо

где ео = е{0). При ш » Шо

в последнем случае Vg w с2. Вблизи резонансной частоты (ш w шо) понятие групповой скорости теряет смысл.

431. Как следует из результатов, полученных в задачах 428,429, функция, описывающая волновой пакет, имеет вид

E(x,f) = Eo(x,f)e(=°-<*).

Здесь амплитуда Eo{x,t) меняется значительно медленнее, чем eCox-wot) (периоды изменения этих функций относятся как Ак/ко). Пренебрегая изменением Ео по сравнению с ехрг(А;ож - ujot), имеем из уравнения Максвелла

г(А;ох-ыо*)

А;о sin во = к2 sin 0 = ко sin 0 /-. l!!-

у ej. sin в2 + £ cos в2

(см. (VIII.23)). Отсюда находим sin2 0=

Угол 1?" между лучом и оптической осью (совпадающей с нормалью к поверхности раздела), согласно результатам предыдущей задачи, определяется условием

y£(£/-sin0o)

Угол отражения от кристалла, как и от изотропной среды, равен углу падения: 01 = 00-

434. Обыкновенный луч лежит в плоскости падения и составляет с нормалью к поверхности угол в!:

sin 02 = у/е±(18тво.

Волновой вектор кг необыкновенной волны лежит в плоскости падения и составляет с нормалью угол 02:

,.2 д,/ £-1 sin 00

sin Уо =

е±е\\ц+ (ej. -e)sin0ocosa

433. Для того чтобы граничные условия для векторов поля выполнялись в любой точке поверхности раздела, необходимо равенство касательных к границе раздела компонент волнового вектора у падающей, отраженной и обеих преломленных волн. Для обыкновенной волны это дает

sin 0

ко sin во = ki sin в2, -:-тг = лДГм-sinpo

Направление луча (вектора Пойнтинга) в обыкновенной волне совпадает с направлением волнового вектора и составляет, следовательно, угол с нормалью к границе.

В случае необыкновенной волны имеем