Обозначим -jy- = zi, тогда е = 1 - . Введением переменной =

1

= (-у-) (•2=1 - •2=) уравнение (1) приводится к виду

+ iE = Q. (2)

Решение уравнения (2) проще всего получить с помо1щ>ю преобразования Фурье. Разложим Е{) в интеграл Фурье:

оо оо

E{i)= j E{u)edu, Е{и) = j EiOe d. -оо -оо

Подставляя разложение Е{) в (2), получаем относительно амплитуды Е{и) дифферешщальное уравнение первого порядка:

+ ш2ад = о. (3)

В результате преобразования Фурье мы получили вместо уравнения второго порядка более простое уравнение первого порядка. Уравнение (3) легко интегрируется, его решение

Переходя к Е{), имеем

Е{и) = Ае 3 .

= А f е-<Т-««) du.

Е{0 = А I ,

Таким же уравнением в квантовой механике описывается движение частицы в однородном силовом поле.

423. При нормальном падении волны на неоднородный слой, электрическое поле зависит только от г: и удовлетворяет уравнению

= е{ш,г)Е = а. (1)

Представляя е в виде суммы синуса и косинуса, и замечая, что

в силу нечетности подынтегральной функции интеграл от sin- и равен нулю, получим:

E{0 = j cos[-iu)du. (4)

функция

называется функцией Эйри (она может быть выражена через функции Бесселя с индексом \). Таким образом, окончательно

Константа А должна определяться из условия на границе слоя.

Исследуем поведение Е{) при больших . Пользуясь асимптотическими формулами для Ф() (см. [11]), получаем при больших положительных значениях :

Здесь поле имеет осциллируюший характер.

При больших по абсолютной величине отрицательных значениях :

Поле экспоненциально затухает. Причина этого состоит в том, что отрицательным соответствуют отрицательные значения диэлектрической постоянной е. Но при е < О волновой вектор к = у/е становится чисто мнимым, что и ведет к затуханию. Однако затухание в данном случае связано не с переходом электромагнитной энергии в тепло (так как диэлектрическая проницаемость вещественна - потери отсутствуют), а с отражением волны от слоя с отрицательным е.

Эта функция подробно исследована В. А. Фоком (см. В. А. Ф о к. Таблицы функции Эйри, 1946 г.).

424. Ф(а;,0) = Л(а;,0)е»*>=,

А{х, 0) = аоч/тгДйе * .

Амплитуда волнового пакета А{х, 0) имеет форму кривой Гаусса. Она становится исчезающе малой, если \хА.к\ 1. Отсюда следует, что ширина пакета в обычном пространстве связана с его «шириной» в пространстве fc соотношением Ах • Afc » 1. Это соотношение имеет универсальный характер и справедливо как для электромагнитных волн, так и для волн любой другой природы. Оно играет особую роль для волн вероятности в квантовой механике, приводя к соотношению неопределенностей для координаты и импульса микрочастицы.

425. Ф(0,<) = A{Q,t)e-°\ где

A(0,f) = аоч/тгДе 4 . М-Аш1.

426. Axmin = п - где в - половина угла конуса раствора лучей,

ZTT sin о

проведенных из объектива микроскопа к рассматриваемому объекту.

427. Волновой импульс, посылаемый радиолокатором, имеет ширину Дх, связанную с поперечным разбросом волновых векторов fcj. соотношением Дх • fcj. 1. С другой стороны, очевидно, w Из этих двух соотношений находим неточность в определении положения обьекта:

Ах уДХ.

428. Волновой пакет описывается функцией

Ф(г,*) = 47гао7Ые(--°*),

где Jg (х) = (- cos х \ - функция Бесселя, p=\r-Wgt\. Группо-2

вая скорость s = ~ вектор с компонентами Амплитуда

волнового пакета теперь заметно отлична от нуля только в пространственной (сферически симметричной) области pq 1. Пакет ограничен по всем трем измерениям.