Плоскость постоянной амплитуды

V .

Второй способ решения задачи рассмотрение многократных отражений волны от границ раздела. Используя формулы Френеля для нормального падения, найдем, что амплитуда волны, однократно отраженной от границы г: = О, запишется в виде

§0 = 0120.

Амплитуда волны, прошедшей внутрь слоя:

Рис. 83

= 0иЕо, 2

012 =

1 + П12

Амплитуда волны, вышедшей из слоя в область 2 < О после однократного отражения от границы z = а:

1 = /821а2зА2ое-2*=».

Амплитуда волны, вернувшейся в область 2 < О после s-кратного отражения от границы Z = а:

Ss = Д21А2а2зе-2*=°(а21а2зе-2*°)»-

Полная амплитуда Ei волны, отраженной от плоского слоя, равна сумме всех Sa.

Ei = fSs = «120 + 2iA2a23e-2*° £(а21а2зе-2*=°)-

s=0 s=l

С помощью формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получим снова соотношение (1).

Коэффициент отражения определяется как R = ---. Находя мини-

мум R обычным способом, получим, что отражение минимально, если толщина слоя удовлетворяет условию

а = а„ = п-, п = 1,2,3,...,

где А2 - длина волны внутри слоя.

£2 = ч/ёГёз-

422. Уравнение, которому удовлетворяет электрическое поле, запишется в виде (см. (Vin.l2)):

Мы должны найти решение этого уравнения, которое при всех z является ограниченным и при z ±оо удовлетворяет некоторым условиям, вытекающим из физического смысла задачи. При z -оо решение должно представлять суперпозищпо двух волн, падающей и отраженной, т. е.

E{z) Ле*° + Бe-** (2)

где fco = •

При 2: 00 должна оставаться только прошедшая волна:

E{z) Ce** (3)

где fco = v.

Произведем в уравнении (1) замену независимой переменной -е " = = . Новая переменная меняется в пределах -оо О при изменении z от -00 до Ч-оо. С помощью подстановки Е() = получим для

новой неизвестной фушщии г/() уравнение

(1 - ОФ" + (1 - 2ifca)(l - ОФ + аф = О, (4)

где = As. Это уравнение называется гипергеометрическим.

Как следует из условия (3), фушщия должна стремиться к постоянному пределу при 0. Решением уравнения (4), ведущим себя указанным образом, является гипергеометрическая фушщия (см. справочник [90], 7.200, 7.251):

г./ о \ , 01(3 а{а + 1Щ(3 + 1) ,

Рассмотрим наименьшую толщину слоя а = соответствуюо;ую минимуму R. Приравнивая R нулю, найдем условие отсутствия отражения:

ф = СР

-i{k + ко)а, -i{k - ко)а, 1 - 2ika, -е "

Чтобы найти вид функции ф при -» - оо, воспользуемся асимптотическим представлением гипергеометрической функции, которое легко получить из [90] (формула 7.232,2):

"~Г()Г(7-а) 5) +

С помощью этой формулы убеждаемся, что условие (2) выполнено. Коэффициент отражения

Г(2гА;оа)Г[1 - г{к + ко)а\Г[-1{к + ко)а\

r(-2ifcoa)r[l - i{k - fco)a]r[-i(fc - ко)а]

Для упрощения полученного выражения используем формулы

= 1 и T{z)T{l-z) = .

Окончательно получим

sh 7ra(fc - fco) sh 7ra(fc -Ь fco)

При малых а (fca < 1) Д переходит в известное выражение, справедливое при скачкообразном изменении е:

(fc-fco) (fc + fco)

С ростом а Д монотонно убывает. При больших ка убывание происходит по экспоненциальному закону:

-4irfco<»

Д = е

ка > 1.

Поэтому решение уравнения (4) запишем в виде