§ 2. Вихревые токи и скин-эффект магнитного диполя т, направление которого совпадает с Но:

3r(m • г) щ

Н2 = Но +

Постоянные Ант определяются из граничных условий для Н на поверхности шара. Выражая функции Бесселя полуцелого порядка через тригонометрические функции, получим

д Шт л а sh2a/ + sin2a/<5\ 8 V <5 сЬ2а/<5-со8 2а/<5У

2 „2

393. R

Jo{ka) Ji{ka)

, где До =

(1 + г)у/2жаш

При \ка\ >С 1 (малые частоты):

где До = -i--сопротивление постоянному току.

па а

При \ка\ » 1 (большие частоты):

а 2naS са у 27гсг

Как следует из последней формулы, эффективная площадь сечения проводника при сильном скин-эффекте равна 27raJ.

шб2 {Si - S2) sin 2h/S2 - (5? + S)sh 2h/S2 + 2S1S2 cos 2h/S2

394. Д =

где Si =

у/2п<Т1Ш 395. Н =

(5i sin/г/52 -Ь Ь2 <xysh/52f + (5? + 5l) sh h/52 с

V7ra2W 2Яо

fcoshfc/i-b2chfc/i" 5 При fc/i 1 (малые частоты) Я = Яо т.е. наличие цилиндрической оболочки не сказывается на величине поля. При \kh\ 1 (большие частоты), имеем:

sh kh и ch kh

H = {l-i)£e +«Яо, Яо»Я.

Сильное ослабление поля получается за счет того, что вихревые токи, возникающие в оболочке, создают в полости добавочное поле обратного направления.

396. j =

2iJoliau) sh k{h - x)

(?ka chkh

no радиусу в глубь проводника;

где X отсчитывается от поверхности

sh2h/S - sm2h/S

2naSa 2{si? h/S + cos h/S) Полый и сплошной проводники имеют одинаковое сопротивление при J <С /г.

397. Выберем цилиндрическую систему координат, как показано на рис. 78. При слабом скин-эффекте касательная к стенке трубы компонента магнитного поля на поверхности S этой стенки должна удовлетворять условию

Я2т - Hit = г,

где г = ahE = (Е - поверхностный ток, - поверхностная проводимость.

Электрическое поле, которое будет иметь, очевидно, только ;г:-компонен1у, должно быть непрерывно на той же поверхности 5: , , Рис. 78 Ei=E2 = Е. (2)

Дальнейшее решение весьма сходно с решением задачи 159 (задача о слабо неконцентрических сферах). С точностью до членов {1/а) уравнение границы запишется в виде

г = a + lcosa. (3)

Векторный потенциал, направление которого совпадает с направлением тока, ищем в виде

А2 = -

1п£ -l-Circosa-l-C, In-b-pcosa,

так как а » 5, то

2(j - J) 47г, г 2 diJl) dCi

+ 2Ci cos a =

ca (p lea dt dt

+ a-

cosa.

Отсюда сразу следует J = J; этот результат связан с тем, что скин-эффект считается слабым. Для Ci получается дифференциальное уравнение

Параметр р = совпадает со значением сопротивления единицы

ZnaC,

длины трубы, выраженным в электромагнитных единицах.

Рещение уравнения (7) легко получить методом вариации произвольных постоянных. Оно имеет вид

Ci = y" e(-*):[./(r)Z(r)]dr -00

(считаем, что при t -оо ток отсутствовал).

где Ci и Si - функции времени, имеющие первый порядок малости относительно {1/а), J - имеет нулевой порядок относительно {1/а).

При слабом скин-эффекте (Л < S) векторный потенциал удовлетворяет условию:

Ai = А2 при г = a + lcosa. (5)

Отсюда, отбрасывая члены порядка {l/af, находим

В, = аС, + --, С = 0. (6)

В граничном условии (1) можно заменить на Я. Как легко проверить, это приведет к ошибке порядка Ц/аУ. Поскольку

имеем на S:

dAi дА2 47гС дА дг дг с dt

или, с точностью до (l/a).