Воспользовавшись свойством ортогональности функций Бесселя: 1

хМктХ)МкпХ) dx = i [J{>ikm)]5mn, (7)

получим

Ст =

Жкша)

2 I H{r,0)Jo{kmr)rdr. (8)

В начальный момент времени поле Н{г, 0) равно внешнему полю Щ, так как постоянное магнитное поле не искажается, если в него поместить бесконечный цилиндр, ось которого параллельна полю. Использовав формулы (П3.12), (П3.9), найдем

-" {кта)МктаУ

Скорость затухания поля будет определяться наименьшим из значений 7т, т.е. 71. Его можно получить, подставив в (4) значение наименьшего корня

функции Бесселя 0i w 2,4. Время затухания поля =

388. Магнитное поле внутри шара в нулевом (по частоте) приближении было найдено в задаче 281:

Н = Но. (1)

Электрическое поле внутри шара в этом же приближении, как следует из уравнения (VII. 11), оказывается равным нулю, так как постоянное магнитное поле не создает электрического поля. Для определения электрического поля в следующем (линейном по ш) приближении используем уравнение (VII. 10) в интегральной форме.

Из свойств симметрии системы ясно, что токи в шаре будут течь по окружностям в плоскостях, перпендикулярных Hq; так же будет направлено электрическое поле.

Коэффициенты Cm определятся из начального условия

H{r,Ql) =Y,CmMkmr). (6)

Выбрав сферическую систему координат с осью z вдоль Но, получим

E=rsini?, j = aE, (2)

где Я определено равенством (1). Выделяющееся в щаре тепло Q найдем, интегрируя q = (т\Е\ по обьему щара:

389. Вне щара магнитное поле:

, Зг(тт) m

Н = Но +---,

где m = - iflHo; /9 = ~ магнитная поляризуемость щара при сильном скин-эффекте. Внутри щара:

Я = -Яое""*8т1?, Нг = На = 0,

где Z отсчитывается от поверхности по нормали в глубь проводника, полярная ось сферической системы координат направлена вдоль Но;

390. В случае сильного скин-эффекта поле внутри эллипсоида равно нулю, а во внещней области удовлетворяет уравнениям rot Е = О, div Е

О и граничным условиям Я„ = О, Н где Но - внещнее поле и через S обозначена поверхность эллипсоида.

Сравним эту задачу с задачей о дюлектрическом эллипсоиде с £ = О, находящемся в однородном электрическом поле. Электрическое поле вне такого эллипсоида будет удовлетворять уравнениям

rotE = 0, divE = 0 (1)

и граничным условиям

n. = £nB„yrpL = 0, ElEo. (2)

Условия для касательных компонент Е можно не рассматривать, так как соотношения (1) и (2) однозначно определяют вектор Е во внешней области.

Мы видим, что рассматриваемая задача о проводящем эллипсоиде, при сильном скин-эффекте формально совпадает с задачей о дюлектрическом эллипсоиде, у которого е = 0. Полагая в формулах, приведенных в ответе задачи 200, е\ = О, получим магнитные поляризуемости в направлении главных осей эллипсоида:

/9 =---, (3)

где п) - соответствующий коэффшщент деполяризащш, V - обьем эллипсоида.

Для сильно вытянутого эллипсоида вращения с полуосями а, Ь а (стержень) имеем (см. задачу 198):

0 = -аЧ, 0\\=-1аЧ.

Для сильно сплюснутого эллипсоида (6 <С а, диск):

/91 = -, ;9 = -ia60 при 6 0.

391. Вследствие аксиальной симметрии системы шар + внешнее поле, распределение вихревых токов в шаре и электрическое поле также обладают аксиальной симметрией. На этом основании можно утверждать, что электрическое поле будет иметь только одну составляющую Еа, которая не может зависеть от а: Еа = /(г, ??).

Ищем решение уравнения (VII. 12) для полного электрического поля Е в виде

Еа = F{r) sin Er = E= 0.

Пользуясь выражением для лапласиана вектора в сферических координатах, полученным в задаче 47, найдем уравнение для F{r), которое подстанов-

х(г)

кой F{r) = -7 сводится к уравнению Бесселя. Его решением, ограничен-ным при г = О, будет

Х{г) = AJikr).

Магнитное поле внутри шара определится из уравнения (VII. 10). Магнитное поле во внешней области будет складываться из внешнего поля Но и поля