Главная страница  Электростатика проводников 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [ 121 ] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

Сила, приложенная к единице обьема цилиндра, вычисляется по формуле

f=3(JxH) (2)

(считаем, что внутри цилиндра р = 1). Радиальная компонента этой силы вызовет радиально направленное давление, азимутальная компонента создает вращательный момент. Поскольку j и Н - комплексные величины, среднее значение азимутальной составляющей силы выразится так:

7a = lMJzH:). (3)

Вращательный момент, действующий на единицу длины цилиндра, получится путем умножения средней силы (3) на г и интегрирования по сечению

зависимость плотности тока такая же, как в случае цилиндра, находящегося в продольном поле, и была исследована в задаче 380. (Однако нужно иметь в виду, что в случае продольного поля токи текут по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра, тогда как в случае поперечного поля они текут вдоль оси цилиндра.)

384. Среднее тепловыделение на единицу длины цилиндра проще всего вычислить по формуле (VII. 17), рассмотрев поток энергии, втекающий через боковую поверхность цилиндра. Используя результаты задачи 383, получим

87га "Умка))-

Тот же результат получится с помощью формулы (VII. 16), причем при интегрировании произведения функций Бесселя нужно использовать формулу (П 3.13).

385. Для определения вращательного момента нужно знать электрическое и магнитное поля внутри цилиндра. Их можно найти тем же способом, что и в задаче 383 для линейно поляризованного внещнего поля:

2HoJi(fcr) .fjJiikr)

Нг - --,-т /I \ На - -2гМо е ,

krJo(ka) Jo(ka)

гскНо Ji(fcr) 2п Joika)



N=.- = Hoa, (6)

а при больших частотах

Из этих формул видно, что вращательный момент исчезает в обоих предельных случаях очень малых и очень больших частот.

Если поле поляризовано линейно, средний вращательный момент равен нулю (формально это следует из того, что интеграл по а обратится в нуль при вычислении N; см. задачу 383, в которой найдены j и Н для этого случая). Таким образом, вращательный момент создается «вращающимся» полем.

Явление, рассмотренное в данной задаче, лежит в основе устройства асинхронного электромотора.

386. Наряду с неподвижной системой отсчета, у которой ось z совпадает с осью цилиндра, а ось х - с направлением внешнего поля Но, рассмотрим систему координат , rj, z, вращающуюся вместе с цилиндром. В этой системе координат внешнее магнитное поле запишется в виде

Но(<) = (Но1-Шо2)е-»*.

Здесь Но1 и Но2 - постоянные векторы одинаковой длины Яо1 = Но2 = = Но, имеющие направления координатных осей , т). Поле такого вида

цилиндра. Интеграл вычисляется с помощью формулы (П3.13). В результате получим

Этот же результат получается другим путем. Момент сил можно выразить через магнитный момент системы по формуле

N(f) = m(f) X Ho(f). (5)

Определяя = N через комплексные амплитуды Но и т, а m - через поперечную магнитную поляризуемость цилиндра (см. задачу 383), приходим к формуле (4).

При малых частотах из (4) получим



387. В задаче 379 было показано, что вихревые токи, возникающие в цилиндре при изменении внещнего продольного поля, не создают добавочного магнитного поля вне цилиндра; во внутренней области создаваемое ими поле продольно и зависит только от г. Это поле будет удовлетворять уравнению

. 1дН 47г/хстэя дг"" г дг г dt ~

Очевидно, что магнитное поле внутри цилиндра будет затухать со временем. Поэтому частные рещения уравнения (1) будем искать в виде F{r)e~, где 7 > О - постоянная. Для F{r) получаем уравнение Бесселя:

F"(r) + F(r) + fc2F(r)=0, (2)

2 Anfiay

Ограниченное при г = О рещение уравнения (2) имеет вид F{r) = = CJo{kr). Поскольку внещнее поле Яо выключается, а добавочное поле, создаваемое вихревыми токами, вне цилиндра равно нулю, на границе должно выполняться условие Я = О, т. е.

Jo (fca) = 0. (3)

Отсюда находим fca = 0гп, т = 1,2,..., где 0гп - нули функции Jq. Возможными значениями 7 будут

= (4)

Общее рещение уравнения (1), соответствующее рассматриваемой краевой задаче, запшиется в виде

Я(г, t) = Y, СтМктг)е-". (5)

было рассмотрено в задаче 385. Создаваемый им вращательный момент (который в данном случае будет тормозящим) равен




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [ 121 ] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210]

0.0359